Suatu persegi panjang OABC diketahui nilai |OA|= 12 cm dan

Nilai a.(a+b) adalah 288.

Pembahasan

Diketahui sebuah persegi panjang OABC dengan panjang |OA| = 12 cm dan lebar |AB| = 5 cm.
Dalam konteks vektor, kita dapat menganggap O sebagai titik pusat (0,0).
Jika OA adalah vektor \(a\) dan OB adalah vektor \(b\), maka:
Karena OABC adalah persegi panjang, vektor OA tegak lurus terhadap vektor AB.
Dengan demikian, kita bisa mendefinisikan vektor \(a\) dan \(b\) sebagai berikut:
Misalkan OA searah dengan sumbu x positif, maka \(a = \vec{OA}\).
Misalkan AB searah dengan sumbu y positif, maka \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = b - a\).
Karena \(\vec{OA}\) tegak lurus \(\vec{AB}\), maka \(a \cdot \vec{AB} = 0\).
\(a \cdot (b - a) = 0\)
\(a \cdot b - a \cdot a = 0\)
\(a \cdot b = a \cdot a\)

Kita tahu bahwa \(a \cdot a = |a|^2\).
Dalam kasus ini, |OA| = |a| = 12 cm.
Maka, \(a \cdot a = 12^2 = 144\).
Jadi, \(a \cdot b = 144\).

Sekarang kita perlu mencari nilai dari \(a \cdot (a + b)\):
\(a \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b\)
Kita sudah tahu \(a \cdot a = 144\) dan \(a \cdot b = 144\).
Jadi, \(a \cdot (a + b) = 144 + 144 = 288\).

Alternatif lain:
Jika kita menganggap \(a = \vec{OA}\) dan \(b = \vec{OB}\), maka dalam persegi panjang OABC, vektor \(\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AB}\) dan \(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}\). 
Sehingga \(b = a + \vec{AB}\). Karena OA tegak lurus AB, maka \(a \cdot \vec{AB} = 0\). 
Kita punya \(|a| = 12\) dan \(|\vec{AB}| = 5\).

Maka, \(a \cdot (a + b) = a \cdot (a + (a + \vec{AB}))\)
\(a \cdot (a + b) = a \cdot (2a + \vec{AB})\)
\(a \cdot (a + b) = a \cdot 2a + a \cdot \vec{AB}\)
\(a \cdot (a + b) = 2(a \cdot a) + a \cdot \vec{AB}\)
\(a \cdot (a + b) = 2|a|^2 + 0\)
\(a \cdot (a + b) = 2(12^2)\)
\(a \cdot (a + b) = 2(144)\)
\(a \cdot (a + b) = 288\).

Perlu diperhatikan bahwa pada soal dikatakan |OA|= 12 cm dan |AB|=5 cm. Jika OA=a dan OB=b, maka berdasarkan sifat persegi panjang, \(b = a + \vec{AB}\). Karena \(\vec{OA}\) tegak lurus \(\vec{AB}\), maka \(a \cdot \vec{AB} = 0\). Namun, jika \(b = \vec{OB}\), maka \(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}\) hanya jika O, A, B membentuk segitiga siku-siku di A, yang benar untuk persegi panjang. Maka \(b = a + \vec{AB}\).
Maka \(a \cdot (a+b) = a \cdot (a + a + \vec{AB}) = a \cdot (2a + \vec{AB}) = 2a \cdot a + a \cdot \vec{AB} = 2|a|^2 + 0 = 2(12^2) = 2(144) = 288\).