Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya per

25.000 juta rupiah

Pembahasan

Untuk mencari keuntungan maksimum perusahaan, kita perlu mendefinisikan fungsi keuntungan. Keuntungan adalah Pendapatan dikurangi Biaya.

Diketahui:
Biaya per unit (C(x)) = (x - 100 + 5000/x) juta rupiah
Jumlah unit barang = x
Total Biaya (TC(x)) = x * C(x) = x * (x - 100 + 5000/x) = x^2 - 100x + 5000 juta rupiah.

Pendapatan (R(x)) = (-x^2 + 300x + 10000) juta rupiah (Perhatikan bahwa soal tertulis 300x, jika tertulis 300 maka jawaban akan berbeda).

Fungsi Keuntungan (P(x)) = R(x) - TC(x)
P(x) = (-x^2 + 300x + 10000) - (x^2 - 100x + 5000)
P(x) = -x^2 + 300x + 10000 - x^2 + 100x - 5000
P(x) = -2x^2 + 400x + 5000

Untuk mencari keuntungan maksimum, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi keuntungan (P'(x)) dan menyamakannya dengan nol.
P'(x) = d/dx (-2x^2 + 400x + 5000)
P'(x) = -4x + 400

Samakan P'(x) dengan nol:
-4x + 400 = 0
4x = 400
x = 100

Untuk memastikan ini adalah keuntungan maksimum, kita perlu memeriksa turunan kedua (P''(x)).
P''(x) = d/dx (-4x + 400)
P''(x) = -4
Karena P''(x) negatif, maka x = 100 memang memberikan keuntungan maksimum.

Sekarang, substitusikan x = 100 ke dalam fungsi keuntungan P(x):
P(100) = -2(100)^2 + 400(100) + 5000
P(100) = -2(10000) + 40000 + 5000
P(100) = -20000 + 40000 + 5000
P(100) = 20000 + 5000
P(100) = 25000

Jadi, keuntungan maksimum perusahaan adalah 25.000 juta rupiah.