Suku banyak berderajat 3 jika dibagi (x^2+2x-3) bersisa

-1

Pembahasan

Misalkan suku banyak tersebut adalah P(x).
Diketahui:
1. P(x) dibagi (x^2 + 2x - 3) bersisa (3x - 4).
   (x^2 + 2x - 3) = (x + 3)(x - 1)
   Maka, P(x) = (x + 3)(x - 1) Q1(x) + (3x - 4)
   P(-3) = 3(-3) - 4 = -9 - 4 = -13
   P(1) = 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1

2. P(x) dibagi (x^2 - x - 2) bersisa (2x + 3).
   (x^2 - x - 2) = (x - 2)(x + 1)
   Maka, P(x) = (x - 2)(x + 1) Q2(x) + (2x + 3)
   P(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
   P(-1) = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1

Kita ingin mencari sisa P(x) jika dibagi (x + 2), yaitu P(-2).

Misalkan sisa P(x) dibagi (x^2 + 2x - 3) dan (x^2 - x - 2) adalah P(x) = (x+2)(x-k)(x-m)Q(x) + Ax + B. Tapi ini terlalu rumit.

Mari kita gunakan bentuk umum: P(x) = (x^2 + 2x - 3)(x - 2) Q(x) + S1(x) atau P(x) = (x^2 - x - 2)(x + 3) Q(x) + S2(x).
Ini juga rumit.

Kita tahu bahwa:
P(x) = (x^2 + 2x - 3) Q1(x) + 3x - 4
P(x) = (x^2 - x - 2) Q2(x) + 2x + 3

Dari informasi di atas, kita punya:
P(-3) = -13
P(1) = -1
P(2) = 7
P(-1) = 1

Sekarang kita perhatikan pembagi (x + 2). Kita perlu mencari nilai P(-2).

Karena P(x) adalah suku banyak berderajat 3, kita bisa memisalkan:
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.
Namun, ini akan membutuhkan banyak perhitungan.

Mari kita gunakan teorema sisa.
Kita perlu menemukan P(-2).

Dari P(x) = (x^2 - x - 2) Q2(x) + 2x + 3, kita tahu P(-1) = 1 dan P(2) = 7.

Dari P(x) = (x^2 + 2x - 3) Q1(x) + 3x - 4, kita tahu P(-3) = -13 dan P(1) = -1.

Kita perlu mencari sisa ketika P(x) dibagi (x + 2). Ini berarti kita perlu mencari P(-2).

Karena P(x) berderajat 3, mari kita cari bentuk P(x) yang lebih spesifik.

Kita memiliki P(-1) = 1 dan P(2) = 7.
Jika kita menganggap P(x) = (x - 2)(x + 1) Q2(x) + 2x + 3.

Kita juga memiliki P(-3) = -13 dan P(1) = -1.

Mari kita coba konstruksi P(x) menggunakan informasi yang ada.
Karena P(-1) = 1 dan P(2) = 7, kita bisa melihat bahwa jika P(x) = ax + b, maka:
-a + b = 1
2a + b = 7
Dengan mengurangkan persamaan pertama dari kedua, kita dapatkan 3a = 6, sehingga a = 2. Maka b = 1 - (-2) = 3. Jadi, garisnya adalah 2x + 3.

Karena P(-3) = -13 dan P(1) = -1, kita bisa melihat bahwa jika P(x) = cx + d, maka:
-3c + d = -13
c + d = -1
Dengan mengurangkan persamaan kedua dari pertama, kita dapatkan -4c = -12, sehingga c = 3. Maka d = -1 - 3 = -4. Jadi, garisnya adalah 3x - 4.

Ini konsisten dengan sisa yang diberikan.

Sekarang, kita perlu mencari P(-2).
Kita tahu P(x) dibagi (x + 2) akan bersisa P(-2).

Karena P(x) berderajat 3, mari kita bentuk P(x) menggunakan sisa.

Misalkan P(x) = (x^2 + 2x - 3)(Ax + B) + 3x - 4
P(x) = (x+3)(x-1)(Ax+B) + 3x - 4

P(-1) = (0)(-2)(A(-1)+B) + 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7. Tapi P(-1) seharusnya 1.

Kesalahan dalam asumsi. Mari kita gunakan informasi P(-1)=1, P(2)=7, P(-3)=-13, P(1)=-1.

Kita ingin mencari P(-2).

Mari kita gunakan interpolasi Lagrange atau bentuk umum P(x).
Karena P(x) berderajat 3, kita dapat menuliskannya sebagai:
P(x) = (x^2 + 2x - 3) Q1(x) + 3x - 4
P(x) = (x-2)(x+1) Q2(x) + 2x + 3

Karena P(x) dibagi oleh (x^2+2x-3) dan (x^2-x-2), mari kita cari KPK dari kedua pembagi tersebut.
KPK dari (x+3)(x-1) dan (x-2)(x+1) adalah (x+3)(x-1)(x-2)(x+1).
Ini tidak membantu karena P(x) hanya berderajat 3.

Mari kita gunakan informasi bahwa P(-1) = 1, P(2) = 7, P(-3) = -13, P(1) = -1.

Kita perlu P(-2).

Karena P(x) adalah suku banyak derajat 3, kita bisa memisalkan:
P(x) = (x+1)(x-2)(x-r) + 2x+3. (Menggunakan sisa dari pembagi (x^2-x-2))

Kita tahu P(-3) = -13:
(-3+1)(-3-2)(-3-r) + 2(-3)+3 = -13
(-2)(-5)(-3-r) - 6 + 3 = -13
10(-3-r) - 3 = -13
-30 - 10r = -10
-10r = 20
r = -2

Jadi, P(x) = (x+1)(x-2)(x+2) + 2x+3.
Mari kita cek P(1):
P(1) = (1+1)(1-2)(1+2) + 2(1)+3 = (2)(-1)(3) + 2+3 = -6 + 5 = -1.
Ini cocok dengan informasi yang diberikan.

Sekarang kita cari sisa P(x) jika dibagi (x+2), yaitu P(-2).

P(-2) = (-2+1)(-2-2)(-2+2) + 2(-2)+3
P(-2) = (-1)(-4)(0) - 4 + 3
P(-2) = 0 - 1
P(-2) = -1

Jadi, suku banyak tersebut jika dibagi (x+2) bersisa -1.