Kelas 12Kelas 11mathAljabar
Suku banyak berderajat 3 jika dibagi (x^2+2x-3) bersisa
Pertanyaan
Sebuah suku banyak berderajat 3 jika dibagi oleh (x^2 + 2x - 3) bersisa (3x - 4), dan jika dibagi oleh (x^2 - x - 2) bersisa (2x + 3). Berapakah sisa suku banyak tersebut jika dibagi oleh (x + 2)?
Solusi
Verified
-1
Pembahasan
Misalkan suku banyak tersebut adalah P(x). Diketahui: 1. P(x) dibagi (x^2 + 2x - 3) bersisa (3x - 4). (x^2 + 2x - 3) = (x + 3)(x - 1) Maka, P(x) = (x + 3)(x - 1) Q1(x) + (3x - 4) P(-3) = 3(-3) - 4 = -9 - 4 = -13 P(1) = 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1 2. P(x) dibagi (x^2 - x - 2) bersisa (2x + 3). (x^2 - x - 2) = (x - 2)(x + 1) Maka, P(x) = (x - 2)(x + 1) Q2(x) + (2x + 3) P(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 P(-1) = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 Kita ingin mencari sisa P(x) jika dibagi (x + 2), yaitu P(-2). Misalkan sisa P(x) dibagi (x^2 + 2x - 3) dan (x^2 - x - 2) adalah P(x) = (x+2)(x-k)(x-m)Q(x) + Ax + B. Tapi ini terlalu rumit. Mari kita gunakan bentuk umum: P(x) = (x^2 + 2x - 3)(x - 2) Q(x) + S1(x) atau P(x) = (x^2 - x - 2)(x + 3) Q(x) + S2(x). Ini juga rumit. Kita tahu bahwa: P(x) = (x^2 + 2x - 3) Q1(x) + 3x - 4 P(x) = (x^2 - x - 2) Q2(x) + 2x + 3 Dari informasi di atas, kita punya: P(-3) = -13 P(1) = -1 P(2) = 7 P(-1) = 1 Sekarang kita perhatikan pembagi (x + 2). Kita perlu mencari nilai P(-2). Karena P(x) adalah suku banyak berderajat 3, kita bisa memisalkan: P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Namun, ini akan membutuhkan banyak perhitungan. Mari kita gunakan teorema sisa. Kita perlu menemukan P(-2). Dari P(x) = (x^2 - x - 2) Q2(x) + 2x + 3, kita tahu P(-1) = 1 dan P(2) = 7. Dari P(x) = (x^2 + 2x - 3) Q1(x) + 3x - 4, kita tahu P(-3) = -13 dan P(1) = -1. Kita perlu mencari sisa ketika P(x) dibagi (x + 2). Ini berarti kita perlu mencari P(-2). Karena P(x) berderajat 3, mari kita cari bentuk P(x) yang lebih spesifik. Kita memiliki P(-1) = 1 dan P(2) = 7. Jika kita menganggap P(x) = (x - 2)(x + 1) Q2(x) + 2x + 3. Kita juga memiliki P(-3) = -13 dan P(1) = -1. Mari kita coba konstruksi P(x) menggunakan informasi yang ada. Karena P(-1) = 1 dan P(2) = 7, kita bisa melihat bahwa jika P(x) = ax + b, maka: -a + b = 1 2a + b = 7 Dengan mengurangkan persamaan pertama dari kedua, kita dapatkan 3a = 6, sehingga a = 2. Maka b = 1 - (-2) = 3. Jadi, garisnya adalah 2x + 3. Karena P(-3) = -13 dan P(1) = -1, kita bisa melihat bahwa jika P(x) = cx + d, maka: -3c + d = -13 c + d = -1 Dengan mengurangkan persamaan kedua dari pertama, kita dapatkan -4c = -12, sehingga c = 3. Maka d = -1 - 3 = -4. Jadi, garisnya adalah 3x - 4. Ini konsisten dengan sisa yang diberikan. Sekarang, kita perlu mencari P(-2). Kita tahu P(x) dibagi (x + 2) akan bersisa P(-2). Karena P(x) berderajat 3, mari kita bentuk P(x) menggunakan sisa. Misalkan P(x) = (x^2 + 2x - 3)(Ax + B) + 3x - 4 P(x) = (x+3)(x-1)(Ax+B) + 3x - 4 P(-1) = (0)(-2)(A(-1)+B) + 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7. Tapi P(-1) seharusnya 1. Kesalahan dalam asumsi. Mari kita gunakan informasi P(-1)=1, P(2)=7, P(-3)=-13, P(1)=-1. Kita ingin mencari P(-2). Mari kita gunakan interpolasi Lagrange atau bentuk umum P(x). Karena P(x) berderajat 3, kita dapat menuliskannya sebagai: P(x) = (x^2 + 2x - 3) Q1(x) + 3x - 4 P(x) = (x-2)(x+1) Q2(x) + 2x + 3 Karena P(x) dibagi oleh (x^2+2x-3) dan (x^2-x-2), mari kita cari KPK dari kedua pembagi tersebut. KPK dari (x+3)(x-1) dan (x-2)(x+1) adalah (x+3)(x-1)(x-2)(x+1). Ini tidak membantu karena P(x) hanya berderajat 3. Mari kita gunakan informasi bahwa P(-1) = 1, P(2) = 7, P(-3) = -13, P(1) = -1. Kita perlu P(-2). Karena P(x) adalah suku banyak derajat 3, kita bisa memisalkan: P(x) = (x+1)(x-2)(x-r) + 2x+3. (Menggunakan sisa dari pembagi (x^2-x-2)) Kita tahu P(-3) = -13: (-3+1)(-3-2)(-3-r) + 2(-3)+3 = -13 (-2)(-5)(-3-r) - 6 + 3 = -13 10(-3-r) - 3 = -13 -30 - 10r = -10 -10r = 20 r = -2 Jadi, P(x) = (x+1)(x-2)(x+2) + 2x+3. Mari kita cek P(1): P(1) = (1+1)(1-2)(1+2) + 2(1)+3 = (2)(-1)(3) + 2+3 = -6 + 5 = -1. Ini cocok dengan informasi yang diberikan. Sekarang kita cari sisa P(x) jika dibagi (x+2), yaitu P(-2). P(-2) = (-2+1)(-2-2)(-2+2) + 2(-2)+3 P(-2) = (-1)(-4)(0) - 4 + 3 P(-2) = 0 - 1 P(-2) = -1 Jadi, suku banyak tersebut jika dibagi (x+2) bersisa -1.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Polinomial, Teorema Sisa
Section: Pembagian Polinomial, Aplikasi Teorema Sisa
Apakah jawaban ini membantu?