Suku banyak f(x)=ax^3+bx^2+ax+b+4 habis dibagi (x-1).

Nilai a = -1 dan b = -1.

Pembahasan

Diketahui suku banyak f(x) = ax^3 + bx^2 + ax + b + 4.
Karena f(x) habis dibagi (x-1), maka f(1) = 0.
Substitusikan x = 1 ke dalam f(x):
f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + a(1) + b + 4 = 0
a + b + a + b + 4 = 0
2a + 2b + 4 = 0
a + b + 2 = 0  (Persamaan 1)

Selanjutnya, kita cari hasil bagi f(x) oleh (x-1) menggunakan pembagian sintetik atau aljabar.
Dengan pembagian sintetik:

1 | a   b   a   (b+4)
  |     a  (a+b) (2a+b)
  -----------------------
    a (a+b) (2a+b) (2a+2b+4)

Hasil baginya adalah H(x) = ax^2 + (a+b)x + (2a+b).
Hasil bagi ini mempunyai nilai ekstrim sama dengan a.
Nilai ekstrim terjadi pada turunan pertama H'(x) = 0.
Hitung turunan pertama H'(x):
H'(x) = 2ax + (a+b).
Setel H'(x) = 0:
2ax + (a+b) = 0.
Nilai ekstrim terjadi saat x = -(a+b)/(2a).
Nilai ekstrim ini sama dengan a, maka H(-(a+b)/(2a)) = a.
Substitusikan x = -(a+b)/(2a) ke dalam H(x):
a[-(a+b)/(2a)]^2 + (a+b)[-(a+b)/(2a)] + (2a+b) = a
a[(a+b)^2 / (4a^2)] - (a+b)^2 / (2a) + (2a+b) = a
(a+b)^2 / (4a) - 2(a+b)^2 / (4a) + (2a+b) = a
-(a+b)^2 / (4a) + (2a+b) = a
-(a^2 + 2ab + b^2) / (4a) + 2a + b = a
-a^2 - 2ab - b^2 + 8a^2 + 4ab + 4a = 4a^2
7a^2 + 2ab - b^2 + 4a = 4a^2
3a^2 + 2ab - b^2 + 4a = 0

Dari Persamaan 1, kita tahu b = -a - 2.
Substitusikan nilai b ke persamaan di atas:
3a^2 + 2a(-a-2) - (-a-2)^2 + 4a = 0
3a^2 - 2a^2 - 4a - (a^2 + 4a + 4) + 4a = 0
a^2 - 4a - a^2 - 4a - 4 + 4a = 0
-4a - 4 = 0
-4a = 4
a = -1

Sekarang cari nilai b menggunakan Persamaan 1:
b = -a - 2
b = -(-1) - 2
b = 1 - 2
b = -1

Jadi, nilai a = -1 dan b = -1.