Suku banyak P(x) dibagi oleh (x^2-x) memberikan sisa

Sisa pembagian P(x) oleh (x^2-1) adalah x+3.

Pembahasan

Misalkan P(x) dibagi oleh (x^2-x) = x(x-1) bersisa (3x+1). Maka P(x) = Q1(x) * x(x-1) + (3x+1). Dari sini, P(0) = Q1(0) * 0 + (3*0+1) = 1 dan P(1) = Q1(1) * 0 + (3*1+1) = 4.

Selanjutnya, P(x) dibagi oleh (x^2+x) = x(x+1) bersisa (1-x). Maka P(x) = Q2(x) * x(x+1) + (1-x). Dari sini, P(0) = Q2(0) * 0 + (1-0) = 1 dan P(-1) = Q2(-1) * 0 + (1-(-1)) = 2.

Kita diminta mencari sisa pembagian P(x) oleh (x^2-1) = (x-1)(x+1). Misalkan sisanya adalah Ax+B. Maka P(x) = Q3(x) * (x-1)(x+1) + (Ax+B).

Menggunakan nilai P(1) dan P(-1):
P(1) = Q3(1) * (1-1)(1+1) + (A*1+B) = A+B. Kita tahu P(1)=4, jadi A+B=4.
P(-1) = Q3(-1) * (-1-1)(-1+1) + (A*(-1)+B) = -A+B. Kita tahu P(-1)=2, jadi -A+B=2.

Sekarang kita punya sistem persamaan linear:
1) A + B = 4
2) -A + B = 2

Menjumlahkan kedua persamaan: (A+B) + (-A+B) = 4+2 => 2B = 6 => B = 3.
Substitusikan B=3 ke persamaan 1: A + 3 = 4 => A = 1.

Jadi, sisa pembagian P(x) oleh (x^2-1) adalah Ax+B, yaitu 1x + 3 atau x+3.