Suku kesepuluh dari pembagian istimewa (a^14-b^14):(a+b)

-a^4 b^9

Pembahasan

Untuk mencari suku kesepuluh dari pembagian istimewa $(a^{14}-b^{14}) : (a+b)$, kita dapat menggunakan teorema sisa atau ekspansi deret.
Namun, pembagian ini merupakan pembagian polinomial.
Kita bisa melihat bahwa $a^{14}-b^{14}$ dapat difaktorkan. Salah satu faktornya adalah $(a+b)$ jika pangkatnya ganjil, tetapi di sini pangkatnya genap. Namun, kita bisa memecahnya menjadi bentuk yang melibatkan suku ganjil.
Misalkan kita gunakan sifat deret geometri:
$rac{x^n - y^n}{x-y} = x^{n-1} + x^{n-2}y + ... + xy^{n-2} + y^{n-1}$

Untuk $(a^{14}-b^{14}) : (a+b)$, ini sedikit berbeda karena pembaginya $(a+b)$.
Kita tahu bahwa $a^n - b^n$ habis dibagi $(a+b)$ jika $n$ genap.
$a^{14}-b^{14} = (a^7)^2 - (b^7)^2 = (a^7-b^7)(a^7+b^7)$

Kita juga tahu bahwa $a^n+b^n$ habis dibagi $(a+b)$ jika $n$ ganjil.
Jadi, $a^7+b^7$ habis dibagi $(a+b)$.

Mari kita fokus pada ekspansi dari $rac{a^{14}-b^{14}}{a+b}$.
Kita bisa memanipulasi ekspresi tersebut:
$rac{a^{14}-b^{14}}{a+b} = rac{a^{14}+a^{13}b - a^{13}b - b^{14}}{a+b}$
$= rac{a^{13}(a+b) - (a^{13}b + b^{14})}{a+b}$
$= a^{13} - rac{b(a^{13} + b^{13})}{a+b}$

Ini menjadi rumit. Cara yang lebih sistematis adalah dengan menggunakan ekspansi binomial atau sifat pembagian polinomial.
Perhatikan pola dari $rac{x^n - y^n}{x+y}$ ketika $n$ genap.
Jika $n$ genap, $rac{x^n - y^n}{x+y} = x^{n-1} - x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 - 	ext{...} - xy^{n-2} + y^{n-1}$.
Dalam kasus ini, $n=14$. Jadi:
$rac{a^{14}-b^{14}}{a+b} = a^{13} - a^{12}b + a^{11}b^2 - a^{10}b^3 + a^9b^4 - a^8b^5 + a^7b^6 - a^6b^7 + a^5b^8 - a^4b^9 + a^3b^{10} - a^2b^{11} + ab^{12} - b^{13}$

Suku-suku dalam ekspansi ini adalah:
Suku ke-1: $a^{13}$
Suku ke-2: $-a^{12}b$
Suku ke-3: $a^{11}b^2$

Perhatikan pola suku ke-$k$: $(-1)^{k-1} a^{14-k} b^{k-1}$.
Kita mencari suku ke-10.
Untuk suku ke-10 (k=10):
$(-1)^{10-1} a^{14-10} b^{10-1}$
$= (-1)^9 a^4 b^9$
$= -a^4 b^9$

Jadi, suku kesepuluh dari pembagian istimewa $(a^{14}-b^{14}):(a+b)$ adalah $-a^4 b^9$.