Suku tengah dari deret aritmetika adalah 61, suku terakhir

Banyak suku pada deret tersebut adalah 15.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan deret aritmetika.

Diketahui:
Suku tengah ($U_t$) = 61
Suku terakhir ($U_n$) = 110
Suku ke-3 ($U_3$) = 26

Rumus suku deret aritmetika: $U_n = a + (n-1)b$, di mana $a$ adalah suku pertama dan $b$ adalah beda.

Langkah 1: Gunakan informasi suku ke-3.
$U_3 = a + (3-1)b$
$26 = a + 2b$  (Persamaan 1)

Langkah 2: Gunakan informasi suku terakhir.
$U_n = a + (n-1)b$
$110 = a + (n-1)b$ (Persamaan 2)

Langkah 3: Gunakan informasi suku tengah.
Dalam deret aritmetika, suku tengah adalah rata-rata dari suku pertama dan suku terakhir, atau dapat dinyatakan sebagai $U_t = \frac{(a + U_n)}{2}$ jika jumlah suku ganjil. Namun, jika kita tidak tahu apakah $n$ ganjil atau genap, kita bisa menggunakan sifat bahwa suku tengah juga sama dengan rata-rata dari dua suku yang berjarak sama dari suku tengah. Dalam konteks ini, jika suku tengahnya adalah $U_k$, maka $U_k = a + (k-1)b = 61$.

Kita juga tahu bahwa $U_t = \frac{U_1 + U_n}{2}$ jika $n$ ganjil dan $t = \frac{n+1}{2}$. Jika $n$ genap, suku tengah tidak unik. Namun, jika diasumsikan ada satu suku tengah, maka biasanya merujuk pada kasus $n$ ganjil.
Jika $U_t = 61$, maka $61 = \frac{a + 110}{2}$
$122 = a + 110$
$a = 122 - 110 = 12$

Langkah 4: Substitusikan nilai $a$ ke Persamaan 1 untuk mencari beda ($b$).
$26 = a + 2b$
$26 = 12 + 2b$
$2b = 26 - 12$
$2b = 14$
$b = 7$

Langkah 5: Gunakan nilai $a$ dan $b$ pada Persamaan 2 untuk mencari banyak suku ($n$).
$110 = a + (n-1)b$
$110 = 12 + (n-1)7$
$110 - 12 = (n-1)7$
$98 = (n-1)7$
$\frac{98}{7} = n-1$
$14 = n-1$
$n = 15$

Jadi, banyak suku pada deret tersebut adalah 15.