Sukubanyak h(x) dibagi (x-1) sisanya 3 dan dibagi (x+1)

x + 5

Pembahasan

Misalkan suku banyak h(x) jika dibagi (x-1) bersisa 3, maka h(1) = 3. Jika dibagi (x+1) bersisa 1, maka h(-1) = 1.

Misalkan suku banyak g(x) jika dibagi (x-1) bersisa 2, maka g(1) = 2. Jika dibagi (x+1) bersisa 4, maka g(-1) = 4.

Diketahui f(x) = h(x)g(x).
Kita ingin mencari sisa f(x) jika dibagi oleh x^2 - 1. Karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya berderajat 1. Misalkan sisa pembagian adalah (ax + b).

Maka, f(x) = (x^2 - 1) q(x) + (ax + b)
f(x) = (x-1)(x+1) q(x) + (ax + b)

Substitusikan x = 1:
f(1) = (1-1)(1+1) q(1) + (a(1) + b)
f(1) = 0 + a + b
f(1) = a + b

Karena f(x) = h(x)g(x), maka f(1) = h(1)g(1) = 3 * 2 = 6.
Jadi, a + b = 6

Substitusikan x = -1:
f(-1) = (-1-1)(-1+1) q(-1) + (a(-1) + b)
f(-1) = 0 - a + b
f(-1) = -a + b

Karena f(x) = h(x)g(x), maka f(-1) = h(-1)g(-1) = 1 * 4 = 4.
Jadi, -a + b = 4

Kita memiliki sistem persamaan linear:
a + b = 6
-a + b = 4

Jumlahkan kedua persamaan:
(a + b) + (-a + b) = 6 + 4
2b = 10
b = 5

Substitusikan b = 5 ke persamaan pertama:
a + 5 = 6
a = 1

Maka, sisa pembagian f(x) oleh x^2 - 1 adalah ax + b = 1x + 5 = x + 5.