Tanpa menggunakan kalkulator, buktikan bahwa tan

Terbukti dengan menggunakan identitas tan(A+B) dan nilai tan 45° serta tan 30°.

Pembahasan

Untuk membuktikan tan 75° = 2 + √3 tanpa kalkulator, kita dapat menggunakan identitas penjumlahan sudut untuk tangen: tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B).
Kita bisa memecah 75° menjadi 45° + 30°.
Maka, tan 75° = tan(45° + 30°)
= (tan 45° + tan 30°) / (1 - tan 45° tan 30°)
Kita tahu bahwa tan 45° = 1 dan tan 30° = 1/√3 = √3/3.
Substitusikan nilai-nilai ini:
= (1 + √3/3) / (1 - 1 * √3/3)
= ( (3 + √3)/3 ) / ( (3 - √3)/3 )
= (3 + √3) / (3 - √3)
Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan konjugatnya (3 + √3):
= (3 + √3)(3 + √3) / ( (3 - √3)(3 + √3) )
= (9 + 3√3 + 3√3 + 3) / (9 - 3)
= (12 + 6√3) / 6
= 2 + √3.

Jadi, terbukti bahwa tan 75° = 2 + √3.