Tanpa menggunakan tabel matematika atau kalkulator,

-1 - √2

Pembahasan

Untuk menghitung tan 112,5 tanpa tabel matematika atau kalkulator, kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

Pertama, kita ubah 112,5° menjadi bentuk yang lebih mudah dihitung, misalnya dengan menggunakan rumus sudut rangkap atau setengah sudut.

Kita tahu bahwa tan(2θ) = 2 tan(θ) / (1 - tan^2(θ)) atau tan(θ/2) = (1 - cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ).

Menggunakan rumus tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ), kita dapat menetapkan θ/2 = 112,5°, sehingga θ = 225°.

Maka, tan(112,5°) = sin(225°) / (1 + cos(225°)).

Kita tahu bahwa sin(225°) = -sin(45°) = -√2/2 dan cos(225°) = -cos(45°) = -√2/2.

Mengganti nilai-nilai ini:
tan(112,5°) = (-√2/2) / (1 + (-√2/2))
tan(112,5°) = (-√2/2) / (1 - √2/2)
tan(112,5°) = (-√2/2) / ((2 - √2)/2)
tan(112,5°) = -√2 / (2 - √2)

Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan dengan konjugatnya:
tan(112,5°) = (-√2 / (2 - √2)) * ((2 + √2) / (2 + √2))
tan(112,5°) = (-2√2 - 2) / (4 - 2)
tan(112,5°) = (-2√2 - 2) / 2
tan(112,5°) = -√2 - 1

Jadi, tan 112,5 = -1 - √2.