Tiga bilangan merupakan deret geometri dengan jumlah 61 .

Bilangan tersebut adalah 25, 20, 16 atau 16, 20, 25.

Pembahasan

Misalkan ketiga bilangan dalam deret geometri tersebut adalah a, ar, dan ar^2, di mana a adalah suku pertama dan r adalah rasio.

Diketahui jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 61:
a + ar + ar^2 = 61
a(1 + r + r^2) = 61 ---(1)

Jika suku pertama dikurangi 1, deret tersebut menjadi deret aritmetika. Suku-suku deret aritmetika tersebut adalah (a-1), ar, ar^2.
Dalam deret aritmetika, selisih antara dua suku berurutan adalah konstan. Maka:
ar - (a-1) = ar^2 - ar

Kita dapat menyederhanakan persamaan ini:
ar - a + 1 = ar^2 - ar
2ar - a + 1 = ar^2
ar^2 - 2ar + a - 1 = 0
a(r^2 - 2r + 1) = 1
a(r - 1)^2 = 1 ---(2)

Dari persamaan (1), kita tahu bahwa 61 adalah bilangan prima. Faktor-faktor dari 61 hanya 1 dan 61. Karena a dan (1 + r + r^2) adalah suku-suku yang membentuk jumlah tersebut, maka ada dua kemungkinan:

Kemungkinan 1: a = 1 dan 1 + r + r^2 = 61
Jika a = 1, substitusikan ke persamaan (2):
1 * (r - 1)^2 = 1
(r - 1)^2 = 1
r - 1 = ±1
Jika r - 1 = 1, maka r = 2.
Jika r - 1 = -1, maka r = 0 (tidak mungkin untuk deret geometri).

Mari kita cek jika r = 2 dan a = 1 memenuhi 1 + r + r^2 = 61:
1 + 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7. Hasilnya bukan 61, jadi kemungkinan ini salah.

Kemungkinan 2: a = 61 dan 1 + r + r^2 = 1
Jika a = 61, substitusikan ke persamaan (2):
61 * (r - 1)^2 = 1
(r - 1)^2 = 1/61
r - 1 = ±√(1/61)
Ini akan menghasilkan nilai r yang bukan bilangan bulat atau rasional sederhana, dan kemungkinan akan sulit untuk memenuhi kondisi deret aritmetika.

Mari kita tinjau kembali persamaan (1) dan (2) serta hubungan antara deret geometri dan aritmetika.

Dari a(r - 1)^2 = 1, kita bisa dapatkan a = 1 / (r - 1)^2. Substitusikan ke a(1 + r + r^2) = 61:
[1 / (r - 1)^2] * (1 + r + r^2) = 61
(1 + r + r^2) = 61 * (r - 1)^2
1 + r + r^2 = 61 * (r^2 - 2r + 1)
1 + r + r^2 = 61r^2 - 122r + 61
0 = 61r^2 - r^2 - 122r - r + 61 - 1
0 = 60r^2 - 123r + 60

Kita bisa membagi seluruh persamaan dengan 3 untuk menyederhanakannya:
0 = 20r^2 - 41r + 20

Sekarang kita faktorkan persamaan kuadrat ini:
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 20 * 20 = 400 dan jika dijumlahkan menghasilkan -41. Bilangan tersebut adalah -25 dan -16.

20r^2 - 25r - 16r + 20 = 0
5r(4r - 5) - 4(4r - 5) = 0
(5r - 4)(4r - 5) = 0

Maka, nilai r yang mungkin adalah:
5r - 4 = 0  => r = 4/5
4r - 5 = 0  => r = 5/4

Sekarang kita cari nilai a untuk kedua nilai r tersebut menggunakan a = 1 / (r - 1)^2:

Jika r = 4/5:
r - 1 = 4/5 - 1 = -1/5
(r - 1)^2 = (-1/5)^2 = 1/25
a = 1 / (1/25) = 25

Dengan a = 25 dan r = 4/5, deret geometrinya adalah:
Suku pertama = a = 25
Suku kedua = ar = 25 * (4/5) = 20
Suku ketiga = ar^2 = 25 * (4/5)^2 = 25 * (16/25) = 16
Jumlahnya = 25 + 20 + 16 = 61 (sesuai)

Jika suku pertama dikurangi 1, deretnya menjadi:
(a-1), ar, ar^2 => (25-1), 20, 16 => 24, 20, 16.
Ini adalah deret aritmetika dengan selisih -4 (20-24 = -4, 16-20 = -4).

Jika r = 5/4:
r - 1 = 5/4 - 1 = 1/4
(r - 1)^2 = (1/4)^2 = 1/16
a = 1 / (1/16) = 16

Dengan a = 16 dan r = 5/4, deret geometrinya adalah:
Suku pertama = a = 16
Suku kedua = ar = 16 * (5/4) = 20
Suku ketiga = ar^2 = 16 * (5/4)^2 = 16 * (25/16) = 25
Jumlahnya = 16 + 20 + 25 = 61 (sesuai)

Jika suku pertama dikurangi 1, deretnya menjadi:
(a-1), ar, ar^2 => (16-1), 20, 25 => 15, 20, 25.
Ini adalah deret aritmetika dengan selisih 5 (20-15 = 5, 25-20 = 5).

Kedua solusi memenuhi syarat soal. Namun, biasanya dalam konteks soal seperti ini, jika tidak ditentukan urutan, kedua set bilangan tersebut dianggap sebagai jawaban yang valid.

Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 25, 20, dan 16, atau 16, 20, dan 25.