Selesaikanlah. a. integral 3/5(x+1)(x+3) dx b.

a. x^3/5 + 6x^2/5 + 9x/5 + C, b. x^7/7 + 3x^4/4 + 3x - 1/(2x^2) + C

Pembahasan

a. Integral dari 3/5(x+1)(x+3) dx
Pertama, kita perluas perkalian (x+1)(x+3):
(x+1)(x+3) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3

Maka integralnya menjadi:
∫ 3/5(x^2 + 4x + 3) dx
= 3/5 ∫ (x^2 + 4x + 3) dx
= 3/5 [∫ x^2 dx + ∫ 4x dx + ∫ 3 dx]
= 3/5 [x^3/3 + 4x^2/2 + 3x] + C
= 3/5 [x^3/3 + 2x^2 + 3x] + C
= x^3/5 + 6x^2/5 + 9x/5 + C

b. Integral dari (x^2+1/x)^3 dx
Pertama, kita perluas bentuk (x^2+1/x)^3 menggunakan binomial expansion (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3:
Dengan a = x^2 dan b = 1/x
(x^2)^3 + 3(x^2)^2(1/x) + 3(x^2)(1/x)^2 + (1/x)^3
= x^6 + 3(x^4)(1/x) + 3(x^2)(1/x^2) + 1/x^3
= x^6 + 3x^3 + 3 + 1/x^3

Maka integralnya menjadi:
∫ (x^6 + 3x^3 + 3 + x^-3) dx
= ∫ x^6 dx + ∫ 3x^3 dx + ∫ 3 dx + ∫ x^-3 dx
= x^7/7 + 3x^4/4 + 3x + x^-2/(-2) + C
= x^7/7 + 3x^4/4 + 3x - 1/(2x^2) + C