Tentukan banyaknya akar dari x/2.008 = sin x.

Terdapat 3 akar.

Pembahasan

Untuk menentukan banyaknya akar dari persamaan \(x/2.008 = \sin x\), kita perlu menganalisis grafik dari kedua fungsi, yaitu \(y = x/2.008\) dan \(y = \sin x\).

Fungsi \(y = x/2.008\) adalah fungsi linear yang melalui titik \((0, 0)\) dengan gradien positif sebesar \(1/2.008\).

Fungsi \(y = \sin x\) adalah fungsi sinusoidal yang berosilasi antara \(-1\) dan \(1\).

Mari kita periksa beberapa titik:

1.  \(x = 0\): \(0/2.008 = 0\) dan \(\sin 0 = 0\). Jadi, \(x = 0\) adalah salah satu akar (titik potong).

2.  Kita perlu mencari di mana \(\sin x\) mencapai nilai \(1\) dan \(-1\) dan membandingkannya dengan nilai \(x/2.008\).
    Nilai maksimum \(\sin x\) adalah \(1\). Kapan \(x/2.008 = 1\)? Maka \(x = 2.008\).
    Nilai minimum \(\sin x\) adalah \(-1\). Kapan \(x/2.008 = -1\)? Maka \(x = -2.008\).

3.  Perhatikan bahwa rentang nilai \(\sin x\) adalah \([-1, 1]\). Jadi, kita hanya perlu mempertimbangkan nilai \(x\) di mana \(-1 <= x/2.008 <= 1\).
    Ini berarti \(-2.008 <= x <= 2.008\).

4.  Dalam interval \([0, 2.008]\), grafik \(y = x/2.008\) dimulai dari \((0, 0)\) dan naik hingga \((2.008, 1)\).
    Grafik \(y = \sin x\) juga dimulai dari \((0, 0)\), naik hingga \(x = \pi/2 \approx 1.57\) dengan nilai \(1\), kemudian turun.
    Karena gradien \(x/2.008\) lebih kecil dari gradien \(\sin x\) di dekat \(x=0\) (gradien \(\sin x\) di \(x=0\) adalah \(\cos 0 = 1\)), kedua grafik akan berpotongan di \(x=0\).
    Karena \(\sin x\) mencapai \(1\) pada \(x = \pi/2 \approx 1.57\), dan \(x/2.008\) pada titik ini adalah \(1.57/2.008 < 1\), serta \(x/2.008\) mencapai \(1\) pada \(x=2.008\), yang mana \(\sin x\) sudah mulai turun dari \(1\) sebelum mencapai \(x=2.008\), akan ada satu titik potong lagi di kuadran pertama selain \(x=0\).

5.  Dalam interval \([-2.008, 0]\), grafik \(y = x/2.008\) dari \((-2.008, -1)\) ke \((0, 0)\).
    Grafik \(y = \sin x\) akan turun dari \(0\) ke \(x = -\pi/2 \approx -1.57\) dengan nilai \(-1\), kemudian naik lagi.
    Sama seperti di kuadran pertama, akan ada satu titik potong lagi di kuadran ketiga (untuk \(x < 0\)) selain \(x=0\).

Secara visual, garis \(y = x/2.008\) akan memotong kurva \(y = \sin x\) di tiga titik: satu di \(x=0\), satu di antara \(0\) dan \(2.008\) (di kuadran pertama), dan satu di antara \(-2.008\) dan \(0\) (di kuadran ketiga).

Oleh karena itu, banyaknya akar dari persamaan \(x/2.008 = \sin x\) adalah 3.