Tentukan batas-batas nilai n agar fungsi kuadrat berikut

0 < n < 12

Pembahasan

Agar fungsi kuadrat h(x) = nx^2 - nx + 3 definit positif, maka dua syarat harus dipenuhi:
1. Koefisien dari x^2 (yaitu n) harus positif.
2. Diskriminan (D) harus negatif.

Syarat 1: Koefisien x^2 > 0
Dalam fungsi h(x) = nx^2 - nx + 3, koefisien x^2 adalah n. Maka, kita harus memiliki:
n > 0

Syarat 2: Diskriminan < 0
Diskriminan (D) dari fungsi kuadrat ax^2 + bx + c adalah D = b^2 - 4ac.
Dalam fungsi h(x) = nx^2 - nx + 3:
a = n
b = -n
c = 3

Maka, diskriminannya adalah:
D = (-n)^2 - 4(n)(3)
D = n^2 - 12n

Agar definit positif, D < 0:
n^2 - 12n < 0
Faktorkan ekspresi:
n(n - 12) < 0

Untuk mencari nilai n yang memenuhi ketidaksetaraan ini, kita cari akar-akarnya terlebih dahulu:
n = 0 atau n = 12

Karena ini adalah ketidaksetaraan kuadratik (parabola terbuka ke atas), maka n(n - 12) < 0 ketika n berada di antara akar-akarnya:
0 < n < 12

Menggabungkan kedua syarat:
Syarat 1: n > 0
Syarat 2: 0 < n < 12

Irisan dari kedua syarat tersebut adalah 0 < n < 12.

Jadi, batas-batas nilai n agar fungsi kuadrat h(x) = nx^2 - nx + 3 definit positif adalah 0 < n < 12.