Diketahui vektor OA = i + k, vektor OB = j + k, vektor OC =

Nilai c adalah -2.

Pembahasan

Diketahui vektor OA = i + k, vektor OB = j + k, vektor OC = cj + 4k. Kita perlu mencari nilai c jika sudut ABC = 60 derajat.

Pertama, kita cari vektor BA dan BC:
Vektor BA = OA - OB = (i + k) - (j + k) = i - j
Vektor BC = OC - OB = (cj + 4k) - (j + k) = (c-1)j + 3k

Kita gunakan rumus dot product untuk sudut antara dua vektor:
BA · BC = |BA| |BC| cos(sudut ABC)

BA · BC = (i - j) · ((c-1)j + 3k)
BA · BC = (1)(0) + (-1)(c-1) + (0)(3)
BA · BC = -(c-1) = 1 - c

Besar vektor BA:
|BA| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + 0^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)

Besar vektor BC:
|BC| = sqrt(0^2 + (c-1)^2 + 3^2) = sqrt((c-1)^2 + 9)

Sudut ABC = 60 derajat, sehingga cos(60) = 1/2.

Masukkan ke dalam rumus dot product:
1 - c = sqrt(2) * sqrt((c-1)^2 + 9) * (1/2)

Kuadratkan kedua sisi:
(1 - c)^2 = (2) * ((c-1)^2 + 9) * (1/4)
1 - 2c + c^2 = 1/2 * (c^2 - 2c + 1 + 9)
1 - 2c + c^2 = 1/2 * (c^2 - 2c + 10)

Kalikan kedua sisi dengan 2:
2 - 4c + 2c^2 = c^2 - 2c + 10

Pindahkan semua ke satu sisi:
2c^2 - c^2 - 4c + 2c + 2 - 10 = 0
c^2 - 2c - 8 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat:
(c - 4)(c + 2) = 0

Maka, nilai c bisa 4 atau -2.

Kita perlu memeriksa kedua nilai c tersebut dengan kembali ke persamaan awal:
Jika c = 4:
Vektor BC = (4-1)j + 3k = 3j + 3k
BA · BC = 1 - 4 = -3
|BA| = sqrt(2)
|BC| = sqrt(3^2 + 3^2) = sqrt(9+9) = sqrt(18) = 3*sqrt(2)
cos(ABC) = BA · BC / (|BA| |BC|) = -3 / (sqrt(2) * 3*sqrt(2)) = -3 / (3 * 2) = -3 / 6 = -1/2.
Ini berarti sudut ABC adalah 120 derajat, bukan 60 derajat. Jadi, c=4 bukan solusi.

Jika c = -2:
Vektor BC = (-2-1)j + 3k = -3j + 3k
BA · BC = 1 - (-2) = 3
|BA| = sqrt(2)
|BC| = sqrt((-3)^2 + 3^2) = sqrt(9+9) = sqrt(18) = 3*sqrt(2)
cos(ABC) = BA · BC / (|BA| |BC|) = 3 / (sqrt(2) * 3*sqrt(2)) = 3 / (3 * 2) = 3 / 6 = 1/2.
Ini berarti sudut ABC adalah 60 derajat. Jadi, c = -2 adalah solusi yang benar.