Kelas 12Kelas 11mathMatematika
Diketahui vektor OA = i + k, vektor OB = j + k, vektor OC =
Pertanyaan
Diketahui vektor OA = i + k, vektor OB = j + k, vektor OC = cj + 4k dan sudut ABC = 60 derajat, tentukan nilai c.
Solusi
Verified
Nilai c adalah -2.
Pembahasan
Diketahui vektor OA = i + k, vektor OB = j + k, vektor OC = cj + 4k. Kita perlu mencari nilai c jika sudut ABC = 60 derajat. Pertama, kita cari vektor BA dan BC: Vektor BA = OA - OB = (i + k) - (j + k) = i - j Vektor BC = OC - OB = (cj + 4k) - (j + k) = (c-1)j + 3k Kita gunakan rumus dot product untuk sudut antara dua vektor: BA · BC = |BA| |BC| cos(sudut ABC) BA · BC = (i - j) · ((c-1)j + 3k) BA · BC = (1)(0) + (-1)(c-1) + (0)(3) BA · BC = -(c-1) = 1 - c Besar vektor BA: |BA| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + 0^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2) Besar vektor BC: |BC| = sqrt(0^2 + (c-1)^2 + 3^2) = sqrt((c-1)^2 + 9) Sudut ABC = 60 derajat, sehingga cos(60) = 1/2. Masukkan ke dalam rumus dot product: 1 - c = sqrt(2) * sqrt((c-1)^2 + 9) * (1/2) Kuadratkan kedua sisi: (1 - c)^2 = (2) * ((c-1)^2 + 9) * (1/4) 1 - 2c + c^2 = 1/2 * (c^2 - 2c + 1 + 9) 1 - 2c + c^2 = 1/2 * (c^2 - 2c + 10) Kalikan kedua sisi dengan 2: 2 - 4c + 2c^2 = c^2 - 2c + 10 Pindahkan semua ke satu sisi: 2c^2 - c^2 - 4c + 2c + 2 - 10 = 0 c^2 - 2c - 8 = 0 Faktorkan persamaan kuadrat: (c - 4)(c + 2) = 0 Maka, nilai c bisa 4 atau -2. Kita perlu memeriksa kedua nilai c tersebut dengan kembali ke persamaan awal: Jika c = 4: Vektor BC = (4-1)j + 3k = 3j + 3k BA · BC = 1 - 4 = -3 |BA| = sqrt(2) |BC| = sqrt(3^2 + 3^2) = sqrt(9+9) = sqrt(18) = 3*sqrt(2) cos(ABC) = BA · BC / (|BA| |BC|) = -3 / (sqrt(2) * 3*sqrt(2)) = -3 / (3 * 2) = -3 / 6 = -1/2. Ini berarti sudut ABC adalah 120 derajat, bukan 60 derajat. Jadi, c=4 bukan solusi. Jika c = -2: Vektor BC = (-2-1)j + 3k = -3j + 3k BA · BC = 1 - (-2) = 3 |BA| = sqrt(2) |BC| = sqrt((-3)^2 + 3^2) = sqrt(9+9) = sqrt(18) = 3*sqrt(2) cos(ABC) = BA · BC / (|BA| |BC|) = 3 / (sqrt(2) * 3*sqrt(2)) = 3 / (3 * 2) = 3 / 6 = 1/2. Ini berarti sudut ABC adalah 60 derajat. Jadi, c = -2 adalah solusi yang benar.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Aljabar Vektor
Section: Dot Product
Apakah jawaban ini membantu?