Tentukan bentuk persamaan oleh rotasi R dengan sudut alpha

Bentuk persamaan setelah rotasi adalah x' = -(y')^2 + 5y' + 8.

Pembahasan

Untuk menentukan bentuk persamaan y = x^2 - 5x - 6 setelah dirotasi sebesar 270 derajat searah jarum jam dengan pusat P(1,1), kita perlu melakukan transformasi koordinat. Rotasi 270 derajat searah jarum jam sama dengan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam. 

Rumus transformasi rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat (a,b) adalah:
x' = a - (y - b)
y' = b + (x - a)

Dalam kasus ini, pusat rotasi P(a,b) adalah (1,1). Jadi, a = 1 dan b = 1.

Substitusikan a=1 dan b=1 ke dalam rumus transformasi:
x' = 1 - (y - 1) = 1 - y + 1 = 2 - y
y' = 1 + (x - 1) = 1 + x - 1 = x

Dari sini, kita dapatkan hubungan:
y = 2 - x'
x = y'

Sekarang, substitusikan hubungan ini ke dalam persamaan asli y = x^2 - 5x - 6:
(2 - x') = (y')^2 - 5(y') - 6

Susun ulang persamaan untuk mendapatkan bentuk standar:
2 - x' = (y')^2 - 5y' - 6

Kita ingin persamaan dalam bentuk y' = ... atau dalam bentuk standar persamaan kuadrat yang ditransformasi. Mari kita susun ulang persamaan dalam variabel x' dan y':
x' = - (y')^2 + 5y' + 8

Atau, jika kita ingin menyatakan y' dalam fungsi x':
(y')^2 - 5y' + (x' - 8) = 0

Menggunakan rumus kuadrat untuk y':
y' = [ -(-5) +/- sqrt((-5)^2 - 4(1)(x' - 8)) ] / 2(1)
y' = [ 5 +/- sqrt(25 - 4x' + 32) ] / 2
y' = [ 5 +/- sqrt(57 - 4x') ] / 2

Jadi, bentuk persamaan setelah rotasi adalah x' = -(y')^2 + 5y' + 8, atau dalam bentuk y' adalah y' = [ 5 +/- sqrt(57 - 4x') ] / 2.