Tentukan bilangan x positif sehingga

Bilangan x positif tersebut adalah 1/2012.

Pembahasan

Misalkan ekspresi tersebut adalah y. Maka kita memiliki:
y = 2012x^(2012x^(...^(2012x^2012)))

Karena pola pengulangan `x` terus menerus dengan pangkat `x^2012`, dan diulang sebanyak `2012x` kali, kita bisa menyederhanakan asumsi bahwa jika ekspresi ini berulang tak terhingga, ia akan konvergen ke suatu nilai.

Namun, soal ini menyatakan bahwa ada `2012x` buah `x`. Mari kita analisis strukturnya:
Jika kita punya y = x^(x^(x^...))
Dan jika ini berulang secara konstan, maka y = x^y.

Dalam kasus ini, strukturnya sedikit berbeda:
2012x^(2012x^(...^(2012x^2012)))

Jika kita misalkan dasar dari perpangkatan yang paling atas adalah z = 2012x^2012.
Maka ekspresi tersebut menjadi:
2012x^(2012x^(...^z))

Jika kita asumsikan bahwa struktur `2012x` berpangkat `2012x` berulang terus menerus, dan kemudian pangkat terakhir adalah `x^2012`.

Mari kita coba pendekatan lain dengan menyederhanakan bentuk.
Misalkan P = x^(x^(x^...)).
Jika ada N buah x, maka P = x^(x^(...(N kali)...^x)).

Dalam soal ini, ada `2012x` buah `x` dengan struktur yang sedikit berbeda di pangkat terakhir.
Misalkan kita memiliki sebuah deret tak hingga:
y = x^(x^(x^...))

Jika ada sejumlah `n` buah `x`, dan pangkat terakhir adalah `x^k`.

Mari kita fokus pada bentuk `x^(x^(x^...))`.
Jika kita punya y = x^y, maka solusi bilangan bulat positif x untuk persamaan ini adalah:
Jika x = 1, 1^y = 1, y bisa berapa saja.
Jika x = 2, 2^y = y, tidak ada solusi bilangan bulat.
Jika x = 4, 4^y = y, jika y = 2, 4^2 = 16 != 2. Jika y=1/2, 4^(1/2)=2 != 1/2.

Namun, soal ini menanyakan bilangan x positif.
Pertimbangkan ekspresi: x^(x^(x^(...^x))) = 2012x.
Jika kita memiliki 'n' buah x.

Mari kita lihat contoh yang lebih sederhana:
x^x = 4. Maka x=2.

x^(x^x) = 27. Jika x=3, maka 3^(3^3) = 3^27, bukan 27.

Kembali ke soal: 2012x^(2012x^(...^(2012x^2012))) terdiri dari 2012x.

Ini mengindikasikan sebuah pola berulang. Jika kita punya y = a^(a^(a^...)), maka y = a^y.

Dalam kasus ini, basisnya adalah `2012x`. Pangkatnya adalah `2012x`. Dan ini berulang sebanyak `2012x` kali.

Jika kita misalkan Z = 2012x.
Maka soalnya menjadi:
Z^(Z^(Z^(...^(Z^x)))) dengan jumlah Z adalah 2012x.
Ini sedikit membingungkan karena pangkat terakhir adalah `x^2012`. 

Namun, jika kita menginterpretasikan bahwa ada `2012x` buah `x` di dalam ekspresi tersebut, dan basisnya adalah `2012x`, maka kemungkinan besar strukturnya adalah:

Misalkan y = 2012x.
Kita punya y ^ y ^ y ^ ... ^ y (sebanyak 2012x kali).

Jika y = x^(x^(x^...)), maka y = x^y.

Jika kita menganggap bahwa ekspresi tersebut adalah sebuah deret berulang yang konvergen, dan jika seluruh ekspresi sama dengan sesuatu, katakanlah K.

2012x^(2012x^(...^(2012x^2012))) = K

Jika kita mengasumsikan bahwa ekspresi ini memiliki bentuk `A^A^A...^A = A`, maka `A=1` atau `A` tidak terdefinisi dengan baik.

Mari kita coba lihat jika `2012x = x^2012`.
Jika kita asumsikan bahwa `2012x` adalah basis dan `2012x` adalah pangkat, dan struktur ini berulang.

Jika kita punya y = a^(a^(a^...))
Dan jika y = a^y.

Dalam soal ini, basisnya adalah `2012x`. Pangkatnya adalah `2012x`. Dan ini berulang. Pangkat terakhir adalah `2012x^2012`.

Jika kita menyederhanakan, kita bisa memikirkan bahwa `2012x` adalah nilai dari seluruh ekspresi.

Jika kita punya `a^(a^(a^...)) = b`, dan jika ada `n` buah `a`.

Jika kita perhatikan soal no 4, ini adalah soal jebakan atau memerlukan pemahaman sifat eksponensial bertingkat yang sangat mendalam.

Namun, jika kita menginterpretasikan bahwa 'terdiri dari 2012x' berarti nilai ekspresi tersebut adalah `2012x`.

Maka:
2012x^(2012x^(...^(2012x^2012))) = 2012x

Jika kita misalkan `y = 2012x`.
Maka `y^(y^(...^y)) = y`.

Ini hanya mungkin jika `y = 1` atau `y = -1` (tergantung definisi pangkat).
Karena `x` positif, `y = 2012x` juga positif.

Jika `y = 1`, maka `2012x = 1` -> `x = 1/2012`.
Jika kita substitusikan `x = 1/2012` ke dalam ekspresi:
`2012 * (1/2012) = 1`.
Ekspresi menjadi `1^(1^(...^1)) = 1`.
Jadi, `1 = 1`. Ini adalah solusi yang valid.

Namun, ada interpretasi lain: jika suatu ekspresi berpangkat berulang sama dengan basisnya, maka seringkali solusinya adalah basis itu sendiri jika pangkatnya tak hingga atau memiliki struktur tertentu.

Misalkan kita punya a^(a^(a^...)) = a. Ini hanya benar jika a = 1.

Mari kita coba interpretasi lain: Jika ekspresi y = x^(x^(x^...)) = K, dan ada n buah x. Jika K = nx.

Dalam soal ini, basisnya adalah `2012x`. Dan jumlah `x` adalah `2012x`. Pangkat terakhir adalah `2012x^2012`.

Jika kita punya struktur `a^(a^(a^...^a)) = b`, dimana `a` diulang `n` kali.

Kemungkinan besar, soal ini didasarkan pada sifat jika `a^(a^(a^...)) = a`. Ini hanya berlaku jika `a = 1`.

Jika kita membuat asumsi bahwa nilai dari keseluruhan ekspresi adalah `2012x`:
2012x^(2012x^(...)) = 2012x

Ini menyiratkan bahwa basisnya (`2012x`) harus sama dengan 1, atau pangkatnya harus 1.

Jika `2012x = 1`, maka `x = 1/2012`.
Jika kita masukkan `x = 1/2012` ke dalam ekspresi:
Basis = `2012 * (1/2012) = 1`.
Ekspresi menjadi `1^(1^(...^1)) = 1`.
Dan nilai yang diharapkan adalah `2012 * (1/2012) = 1`.
Jadi, `1 = 1`. Ini adalah solusi yang benar.

Jika pangkatnya 1:
Ini akan sangat kompleks untuk dihitung.

Jadi, berdasarkan analisis ini, solusi yang paling mungkin adalah `x = 1/2012`.