Tentukan daerah asal, daerah hasil, y-intersep, dan

Daerah Asal: (-∞, 2) U (2, 5) U (5, ∞). Daerah Hasil: (-∞, (-11-4√6)/3] U [(-11+4√6)/3, ∞). y-intersep: (0, -2/5). x-intersep: (-4, 0) dan (1, 0).

Pembahasan

Untuk menentukan daerah asal, daerah hasil, y-intersep, dan x-intersep dari fungsi g(x)=(x^2+3x-4)/(x^2-7x+10), kita perlu menganalisis setiap komponen.

1.  **Daerah Asal (Domain):** Daerah asal adalah semua nilai x yang membuat fungsi terdefinisi. Fungsi rasional tidak terdefinisi ketika penyebutnya bernilai nol. Jadi, kita harus mencari nilai x yang membuat x^2 - 7x + 10 = 0.
    Faktorkan penyebut: (x - 2)(x - 5) = 0.
Maka, x = 2 atau x = 5. Oleh karena itu, daerah asal fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali 2 dan 5. Dalam notasi interval, D(g) = (-∞, 2) U (2, 5) U (5, ∞).

2.  **Daerah Hasil (Range):** Menentukan daerah hasil untuk fungsi rasional yang lebih kompleks bisa jadi rumit. Salah satu cara adalah dengan menganalisis perilaku fungsi saat x mendekati tak hingga dan nilai-nilai penting lainnya, atau dengan menggunakan kalkulus untuk mencari nilai maksimum dan minimum. Pendekatan aljabar bisa melibatkan pengaturan y = g(x) dan menyelesaikan untuk x, kemudian mencari nilai y yang memungkinkan.
    Misalkan y = (x^2+3x-4)/(x^2-7x+10). Maka, y(x^2-7x+10) = x^2+3x-4.
yx^2 - 7xy + 10y = x^2 + 3x - 4.
yx^2 - x^2 - 7xy - 3x + 10y + 4 = 0.
x^2(y-1) - x(7y+3) + (10y+4) = 0.
Agar x bernilai real, diskriminan dari persamaan kuadrat ini harus non-negatif (≥ 0).
Diskriminan (Δ) = b^2 - 4ac
Δ = (-(7y+3))^2 - 4(y-1)(10y+4) ≥ 0
(49y^2 + 42y + 9) - 4(10y^2 + 4y - 10y - 4) ≥ 0
49y^2 + 42y + 9 - 4(10y^2 - 6y - 4) ≥ 0
49y^2 + 42y + 9 - 40y^2 + 24y + 16 ≥ 0
9y^2 + 66y + 25 ≥ 0.
Untuk mencari nilai y, kita cari akar dari 9y^2 + 66y + 25 = 0. Menggunakan rumus kuadrat: y = [-b ± sqrt(b^2-4ac)] / 2a
y = [-66 ± sqrt(66^2 - 4*9*25)] / (2*9)
y = [-66 ± sqrt(4356 - 900)] / 18
y = [-66 ± sqrt(3456)] / 18
y = [-66 ± 24*sqrt(6)] / 18
y1 = (-66 - 24*sqrt(6)) / 18 = (-11 - 4*sqrt(6)) / 3 ≈ -7.39
y2 = (-66 + 24*sqrt(6)) / 18 = (-11 + 4*sqrt(6)) / 3 ≈ -2.15
Karena parabola 9y^2 + 66y + 25 menghadap ke atas, maka 9y^2 + 66y + 25 ≥ 0 ketika y ≤ y1 atau y ≥ y2. Namun, kita juga harus mempertimbangkan kasus ketika y=1 (dari koefisien x^2(y-1)). Jika y=1, persamaan menjadi -x(7(1)+3) + (10(1)+4) = 0 => -10x + 14 = 0 => x = 1.4. Jadi y=1 adalah nilai yang mungkin.
Jadi, daerah hasilnya adalah R(g) = (-∞, (-11 - 4√6)/3] U [(-11 + 4√6)/3, ∞).

3.  **y-intersep:** y-intersep adalah nilai fungsi ketika x = 0. Substitusikan x = 0 ke dalam fungsi:
g(0) = (0^2 + 3*0 - 4) / (0^2 - 7*0 + 10) = -4 / 10 = -2/5.
Jadi, y-intersep adalah (0, -2/5).

4.  **x-intersep:** x-intersep adalah nilai x ketika g(x) = 0. Ini terjadi ketika pembilang bernilai nol, asalkan penyebutnya tidak nol pada nilai x tersebut.
Atur pembilang = 0: x^2 + 3x - 4 = 0.
Faktorkan pembilang: (x + 4)(x - 1) = 0.
Maka, x = -4 atau x = 1.
Karena x = -4 dan x = 1 tidak membuat penyebut bernilai nol (penyebut bernilai nol pada x=2 dan x=5), maka x-intersep adalah (-4, 0) dan (1, 0).