Tentukan (f+g)(x),(f-g)(x),(f x g)(x),(f/g)(x), f^2(x), dan

Operasi fungsi melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pengkuadratan dengan memperhatikan daerah asal masing-masing.

Pembahasan

Untuk menentukan operasi pada fungsi f(x)=(x+1)/x dan g(x)=akar(x+1), kita perlu melakukan operasi aljabar dan menentukan daerah asalnya.

1. (f+g)(x) = f(x) + g(x) = (x+1)/x + akar(x+1)
   Daerah asal: x ≠ 0 dan x ≥ -1. Irisannya adalah x > 0 atau -1 ≤ x < 0.

2. (f-g)(x) = f(x) - g(x) = (x+1)/x - akar(x+1)
   Daerah asal: Sama seperti (f+g)(x), yaitu x > 0 atau -1 ≤ x < 0.

3. (f x g)(x) = f(x) * g(x) = [(x+1)/x] * akar(x+1)
   Daerah asal: Sama seperti (f+g)(x), yaitu x > 0 atau -1 ≤ x < 0.

4. (f/g)(x) = f(x) / g(x) = [(x+1)/x] / akar(x+1) = (x+1) / [x * akar(x+1)]
   Daerah asal: x ≠ 0, x ≥ -1, dan g(x) ≠ 0 (akar(x+1) ≠ 0, sehingga x ≠ -1). Irisannya adalah x > 0.

5. f^2(x) = [f(x)]^2 = [(x+1)/x]^2 = (x+1)^2 / x^2
   Daerah asal: x ≠ 0.

6. g^2(x) = [g(x)]^2 = [akar(x+1)]^2 = x+1
   Daerah asal: Semua bilangan real (karena domain akar(x+1) adalah x ≥ -1, namun ketika dikuadratkan, domain menjadi semua bilangan real. Namun, jika kita melihat dari konteks operasi fungsi, kita harus tetap memperhatikan domain awal g(x), sehingga daerah asalnya adalah x ≥ -1).

Catatan: Daerah asal gabungan harus memperhatikan domain dari kedua fungsi asli dan hasil operasi.