Tentukan formula untuk fungsi g(x) apabila diketahui:

g(x) = x^2 - 2x - 1

Pembahasan

Untuk menentukan formula fungsi g(x), kita akan menggunakan definisi komposisi fungsi (gof)(x) = g(f(x)).

Diketahui:
   f(x) = x^2 + 1
   (gof)(x) = x^4 - 2

Kita tahu bahwa (gof)(x) = g(f(x)). Maka:
   g(f(x)) = x^4 - 2

Ganti f(x) dengan (x^2 + 1):
   g(x^2 + 1) = x^4 - 2

Untuk menemukan formula g(x), kita perlu menyatakan x^4 - 2 dalam bentuk kuadrat dari (x^2 + 1). Perhatikan bahwa x^4 = (x^2)^2. Kita bisa menulis ulang x^4 - 2 sebagai berikut:
   x^4 - 2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 2x^2 - 1 - 2
   x^4 - 2 = (x^2 + 1)^2 - 2x^2 - 3

Ini belum dalam bentuk yang sederhana untuk mendapatkan g(x). Mari kita coba pendekatan lain.

Misalkan y = f(x) = x^2 + 1. Maka, x^2 = y - 1. 
Kita perlu mengekspresikan x^4 dalam bentuk y. 
x^4 = (x^2)^2 = (y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1.

Sekarang substitusikan ini ke dalam persamaan (gof)(x) = x^4 - 2:
   g(y) = (y^2 - 2y + 1) - 2
   g(y) = y^2 - 2y - 1

Karena y = f(x) = x^2 + 1, maka formula untuk g(x) adalah:
   g(x) = x^2 - 2x - 1

Mari kita cek kembali:
   g(f(x)) = g(x^2+1) = (x^2+1)^2 - 2(x^2+1) - 1
   = (x^4 + 2x^2 + 1) - (2x^2 + 2) - 1
   = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 - 2 - 1
   = x^4 - 2

Ini sesuai dengan yang diketahui. Jadi, formula untuk fungsi g(x) adalah x^2 - 2x - 1.