Tentukan hasil dari 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+... .2

Dengan asumsi soal adalah penjumlahan kuadrat hingga 2009, dikurangi $2010^2$ dan ditambah $2011^2$, hasilnya adalah 2705421206.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung hasil dari sebuah deret yang melibatkan kuadrat bilangan bulat dan selisih kuadrat.

Deretnya adalah: $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + 2009^2 - 2010^2 + 2011^2$.

Mari kita perhatikan bagian selisih kuadrat:
$-2010^2 + 2011^2 = 2011^2 - 2010^2$
Kita dapat menggunakan rumus selisih kuadrat: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Maka, $2011^2 - 2010^2 = (2011 - 2010)(2011 + 2010) = (1)(4021) = 4021$.

Sekarang, mari kita perhatikan deret kuadrat: $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Namun, soal ini tampaknya tidak meminta jumlah dari $1^2$ sampai $2011^2$. Sepertinya ada pola atau kesalahan dalam penulisan soal yang mengarah ke interpretasi yang berbeda.

Jika soalnya adalah mencari hasil dari $1^2 + 2^2 + ... + 2009^2$ dikurangi $2010^2$ ditambah $2011^2$, maka perhitungannya menjadi sangat besar.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain dari interpretasi soal:

Interpretasi 1: $S = (1^2 + 2^2 + ... + 2009^2) - 2010^2 + 2011^2$
Ini akan memerlukan perhitungan jumlah deret kuadrat hingga 2009, yang sangat besar.

Interpretasi 2: Ada pola lain yang dimaksud.

Jika kita melihat bagian akhir soal: $-2010^2 + 2011^2$. Ini adalah $2011^2 - 2010^2 = (2011-2010)(2011+2010) = 1 	imes 4021 = 4021$.

Mungkin soal ini dimaksudkan untuk memiliki struktur seperti ini: $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 2009^2 - 2010^2 + 2011^2$.

Jika demikian, kita dapat mengelompokkannya:
$(1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + ... + (2009^2 - 2010^2) + 2011^2$
$(1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + ... + (2009-2010)(2009+2010) + 2011^2$
$(-1)(3) + (-1)(7) + (-1)(11) + ... + (-1)(4019) + 2011^2$
$-3 - 7 - 11 - ... - 4019 + 2011^2$

Ini adalah deret aritmatika dengan suku pertama $a = -3$, beda $d = -4$. Untuk mencari jumlah suku, kita perlu mencari $n$. Suku terakhir adalah $-4019$. $a_n = a + (n-1)d$. $-4019 = -3 + (n-1)(-4)$. $-4016 = (n-1)(-4)$. $1004 = n-1$. $n = 1005$.

Jumlah deret aritmatika $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) = \frac{1005}{2}(-3 + (-4019)) = \frac{1005}{2}(-4022) = 1005 	imes (-2011)$.
$1005 	imes (-2011) = -(1000 	imes 2011 + 5 	imes 2011) = -(2011000 + 10055) = -2021055$.

Maka, hasilnya adalah $-2021055 + 2011^2 = -2021055 + 4044121 = 2023066$.

Namun, jika soalnya persis seperti yang tertulis: $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+... .2 .009^2-2.010^2+2.011^2$, ini bisa diartikan sebagai penjumlahan dari $1^2$ hingga $2009^2$, lalu dikurangi $2010^2$, dan ditambah $2011^2$.

Mari kita hitung $2011^2 - 2010^2 = 4021$ seperti di awal.

Jadi, soalnya menjadi: $(1^2 + 2^2 + ... + 2009^2) + 4021$.

Rumus jumlah kuadrat: $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Untuk $n=2009$: $\frac{2009(2009+1)(2 	imes 2009 + 1)}{6} = \frac{2009(2010)(4019)}{6}$.
$= 2009 	imes 335 	imes 4019$
$= 673015 	imes 4019$
$= 2705417185$

Ditambah 4021: $2705417185 + 4021 = 2705421206$.

Mengingat format soal yang mungkin ada kesalahan penulisan, interpretasi yang paling masuk akal dengan penyelesaian yang tidak terlalu rumit adalah pola selang-seling kuadrat.

Jika kita mengikuti persis penulisan soal: $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+... .2 .009^2-2.010^2+2.011^2$
Ini bisa dibaca sebagai jumlah $1^2$ sampai $2009^2$, lalu dikurangi $2010^2$ dan ditambah $2011^2$.

$S = \sum_{i=1}^{2009} i^2 - 2010^2 + 2011^2$
$S = \frac{2009(2009+1)(2 	imes 2009 + 1)}{6} - 2010^2 + 2011^2$
$S = \frac{2009 	imes 2010 	imes 4019}{6} - 4040100 + 4044121$
$S = 2009 	imes 335 	imes 4019 + 4021$
$S = 673015 	imes 4019 + 4021$
$S = 2705417185 + 4021$
$S = 2705421206$.

Tanpa klarifikasi lebih lanjut mengenai format soal, interpretasi jumlah kuadrat biasa dengan penyesuaian di akhir adalah yang paling langsung.