Suatu pesawat memiliki 72 tempat duduk. Penumpang kelas

Keuntungan terbesar adalah Rp16.200.000, yang dicapai dengan 18 penumpang kelas utama dan 54 penumpang kelas ekonomi.

Pembahasan

Ini adalah soal program linear yang berkaitan dengan memaksimalkan keuntungan.

Mari kita definisikan variabel:
*   Misalkan $x$ = jumlah penumpang kelas utama.
*   Misalkan $y$ = jumlah penumpang kelas ekonomi.

Kita perlu menentukan fungsi tujuan (keuntungan yang ingin dimaksimalkan) dan kendala-kendala yang ada.

**Fungsi Tujuan (Keuntungan):**
Keuntungan dari kelas utama = Rp300.000 per penumpang.
Keuntungan dari kelas ekonomi = Rp200.000 per penumpang.
Fungsi keuntungan, $K(x, y) = 300.000x + 200.000y$.
Kita ingin memaksimalkan $K(x, y)$.

**Kendala:**
1.  **Kapasitas Pesawat:** Jumlah total tempat duduk adalah 72.
    $x + y \le 72$

2.  **Kapasitas Bagasi:**
    Kelas utama: 40 kg per penumpang.
    Kelas ekonomi: 20 kg per penumpang.
    Daya tampung bagasi maksimum: 1.800 kg.
    $40x + 20y \le 1800$
    Kita bisa menyederhanakan kendala ini dengan membagi kedua sisi dengan 20:
    $2x + y \le 90$

3.  **Non-negativitas:** Jumlah penumpang tidak boleh negatif.
    $x \ge 0$
    $y \ge 0$

Jadi, kita perlu mencari nilai maksimum dari $K(x, y) = 300.000x + 200.000y$ dengan kendala:
*   $x + y \le 72$
*   $2x + y \le 90$
*   $x \ge 0$
*   $y \ge 0$

Langkah selanjutnya adalah menemukan titik-titik sudut dari daerah himpunan penyelesaian (DHP) yang dibentuk oleh kendala-kendala ini.

**Mencari Titik Sudut:**
Kita akan mencari perpotongan garis-garis batas:
1.  Perpotongan sumbu x dan y: (0, 0)
2.  Perpotongan sumbu x ($y=0$) dengan $x+y=72$: $x=72$. Titik (72, 0).
3.  Perpotongan sumbu x ($y=0$) dengan $2x+y=90$: $2x=90 \Rightarrow x=45$. Titik (45, 0).
    Perhatikan bahwa titik (72, 0) tidak memenuhi kendala $2x+y \le 90$ ($2(72)+0 = 144 > 90$). Jadi, titik sudut pada sumbu x adalah (45, 0).
4.  Perpotongan sumbu y ($x=0$) dengan $x+y=72$: $y=72$. Titik (0, 72).
5.  Perpotongan sumbu y ($x=0$) dengan $2x+y=90$: $y=90$. Titik (0, 90).
    Perhatikan bahwa titik (0, 90) tidak memenuhi kendala $x+y \le 72$ ($0+90 = 90 > 72$). Jadi, titik sudut pada sumbu y adalah (0, 72).
6.  Perpotongan garis $x+y=72$ dan $2x+y=90$.
    Gunakan metode eliminasi. Kurangkan persamaan pertama dari kedua:
    $(2x + y) - (x + y) = 90 - 72$
    $x = 18$.
    Substitusikan $x=18$ ke $x+y=72$:
    $18 + y = 72 \Rightarrow y = 72 - 18 = 54$.
    Titik potongnya adalah (18, 54).

Jadi, titik-titik sudut DHP yang relevan adalah:
*   O = (0, 0)
*   A = (45, 0) (Karena 45 < 72, titik ini valid)
*   B = (18, 54) (Titik potong kedua garis)
*   C = (0, 72) (Karena 72 < 90, titik ini valid)

**Menguji Nilai Keuntungan di Setiap Titik Sudut:**
*   Di O(0, 0): $K(0, 0) = 300.000(0) + 200.000(0) = 0$.
*   Di A(45, 0): $K(45, 0) = 300.000(45) + 200.000(0) = 13.500.000$.
*   Di B(18, 54): $K(18, 54) = 300.000(18) + 200.000(54) = 5.400.000 + 10.800.000 = 16.200.000$.
*   Di C(0, 72): $K(0, 72) = 300.000(0) + 200.000(72) = 14.400.000$.

**Menentukan Keuntungan Terbesar:**
Membandingkan nilai-nilai keuntungan: 0, 13.500.000, 16.200.000, dan 14.400.000.
Nilai keuntungan terbesar adalah Rp16.200.000.

Keuntungan terbesar diperoleh ketika ada 18 penumpang kelas utama dan 54 penumpang kelas ekonomi.