Tentukan hasil dari (a-b)^7 kemudian tentukan: (i)

Koefisien suku ke-2: -7, Koefisien suku ke-5: 35, Selisih koefisien suku ke-3 dan suku ke-4: 56, Jumlah koefisien suku ke-5 dan suku ke-6: 14, Hasil kali koefisien suku ke-3 dan suku ke-6: -441.

Pembahasan

Untuk menentukan hasil dari ekspansi binomial (a-b)^7 dan koefisien suku-sukunya, kita akan menggunakan Teorema Binomial.

Teorema Binomial menyatakan bahwa:
(x + y)^n = Σ (n choose k) * x^(n-k) * y^k, di mana k dari 0 sampai n.

Dalam kasus ini, x = a, y = -b, dan n = 7.

(a - b)^7 = Σ (7 choose k) * a^(7-k) * (-b)^k

Mari kita cari koefisien untuk setiap suku yang diminta:

(i) Koefisien suku ke-2:
Suku ke-2 berarti k = 1 (karena k dimulai dari 0).
Koefisien suku ke-2 = (7 choose 1) * a^(7-1) * (-b)^1
(7 choose 1) = 7! / (1! * (7-1)!) = 7! / (1! * 6!) = 7
Koefisien = 7 * a^6 * (-b) = -7a^6b
Koefisien suku ke-2 adalah -7.

(ii) Koefisien suku ke-5:
Suku ke-5 berarti k = 4.
Koefisien suku ke-5 = (7 choose 4) * a^(7-4) * (-b)^4
(7 choose 4) = 7! / (4! * (7-4)!) = 7! / (4! * 3!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35
Koefisien = 35 * a^3 * b^4 = 35a^3b^4
Koefisien suku ke-5 adalah 35.

(iii) Selisih koefisien suku ke-3 dan suku ke-4:
Suku ke-3 (k=2): (7 choose 2) * a^(7-2) * (-b)^2
(7 choose 2) = 7! / (2! * 5!) = (7 * 6) / (2 * 1) = 21
Koefisien suku ke-3 = 21 * a^5 * b^2 = 21a^5b^2. Koefisiennya adalah 21.
Suku ke-4 (k=3): (7 choose 3) * a^(7-3) * (-b)^3
(7 choose 3) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35
Koefisien suku ke-4 = 35 * a^4 * (-b^3) = -35a^4b^3. Koefisiennya adalah -35.
Selisih = Koefisien suku ke-3 - Koefisien suku ke-4 = 21 - (-35) = 21 + 35 = 56.
Selisih koefisien suku ke-3 dan suku ke-4 adalah 56.

(iv) Jumlah koefisien suku ke-5 dan suku ke-6:
Suku ke-5 (k=4): Koefisiennya adalah 35 (dari perhitungan ii).
Suku ke-6 (k=5): (7 choose 5) * a^(7-5) * (-b)^5
(7 choose 5) = 7! / (5! * 2!) = (7 * 6) / (2 * 1) = 21
Koefisien suku ke-6 = 21 * a^2 * (-b^5) = -21a^2b^5. Koefisiennya adalah -21.
Jumlah = Koefisien suku ke-5 + Koefisien suku ke-6 = 35 + (-21) = 35 - 21 = 14.
Jumlah koefisien suku ke-5 dan suku ke-6 adalah 14.

(v) Hasil kali koefisien suku ke-3 dan suku ke-6:
Koefisien suku ke-3 = 21 (dari perhitungan iii).
Koefisien suku ke-6 = -21 (dari perhitungan iv).
Hasil kali = Koefisien suku ke-3 * Koefisien suku ke-6 = 21 * (-21) = -441.
Hasil kali koefisien suku ke-3 dan suku ke-6 adalah -441.

Hasil dari ekspansi (a-b)^7 adalah:
(a-b)^7 = a^7 - 7a^6b + 21a^5b^2 - 35a^4b^3 + 35a^3b^4 - 21a^2b^5 + 7ab^6 - b^7

Ringkasan Jawaban:
(i) Koefisien suku ke-2: -7
(ii) Koefisien suku ke-5: 35
(iii) Selisih koefisien suku ke-3 dan suku ke-4: 56
(iv) Jumlah koefisien suku ke-5 dan suku ke-6: 14
(v) Hasil kali koefisien suku ke-3 dan suku ke-6: -441