Tentukan hasil dari integral di bawah ini!integral cos

Hasil integralnya adalah $\frac{(1+\sin \theta)^6}{6} - \frac{(1+\sin \theta)^5}{5} + C$.

Pembahasan

Untuk menentukan hasil dari integral $\int \cos \theta \sin \theta (1+\sin \theta)^4 d\theta$, kita dapat menggunakan metode substitusi.

Misalkan $u = 1 + \sin \theta$. 
Maka, turunan $u$ terhadap $\theta$ adalah $du/d\theta = \cos \theta$. 
Sehingga, $du = \cos \theta d\theta$.

Sekarang, kita perlu menyatakan $\sin \theta$ dalam bentuk $u$. Dari $u = 1 + \sin \theta$, kita dapatkan $\sin \theta = u - 1$.

Substitusikan ke dalam integral:
$\int \sin \theta (1+\sin \theta)^4 (\cos \theta d\theta)$
$= \int (u-1) u^4 du$

Sekarang, kita distribusikan $u^4$:
$= \int (u^5 - u^4) du$

Integralkan terhadap $u$:
$= \frac{u^{5+1}}{5+1} - \frac{u^{4+1}}{4+1} + C$
$= \frac{u^6}{6} - \frac{u^5}{5} + C$

Terakhir, substitusikan kembali $u = 1 + \sin \theta$:
$= \frac{(1+\sin \theta)^6}{6} - \frac{(1+\sin \theta)^5}{5} + C$

Jadi, hasil dari integral $\int \cos \theta \sin \theta (1+\sin \theta)^4 d\theta$ adalah $\frac{(1+\sin \theta)^6}{6} - \frac{(1+\sin \theta)^5}{5} + C$.