Tentukan hasil dari lim _(x -> 0) (cos 4 x-1)/(1-cos ^(2) 2

Hasil limitnya adalah -2.

Pembahasan

Untuk menentukan hasil dari $\lim _{x \to 0} \frac{\cos 4x - 1}{1 - \cos^2 2x}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Pertama, mari kita sederhanakan penyebut menggunakan identitas $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, sehingga $1 - \cos^2 2x = \sin^2 2x$.

Integral menjadi:
$$ \lim _{x \to 0} \frac{\cos 4x - 1}{\sin^2 2x} $$ 

Kita juga bisa menggunakan identitas $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$. Dari sini, kita dapatkan $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$. Maka, $\cos 4x - 1 = -2\sin^2 2x$.

Substitusikan kembali ke dalam limit:
$$ \lim _{x \to 0} \frac{-2\sin^2 2x}{\sin^2 2x} $$ 

Karena $\sin^2 2x$ tidak sama dengan nol saat $x \to 0$ (kecuali tepat di x=0), kita bisa membatalkannya:
$$ \lim _{x \to 0} -2 $$ $$ = -2 $$ 

Alternatif lain, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah $\frac{0}{0}$ saat $x=0$ ($\cos 0 - 1 = 1-1=0$ dan $1 - \cos^2 0 = 1-1=0$).
Turunan dari pembilang: $\frac{d}{dx}(\cos 4x - 1) = -4 \sin 4x$.
Turunan dari penyebut: $\frac{d}{dx}(1 - \cos^2 2x) = -2 \cos 2x (-2 \sin 2x) = 4 \sin 2x \cos 2x = 2 \sin 4x$.

Maka limitnya menjadi:
$$ \lim _{x \to 0} \frac{-4 \sin 4x}{2 \sin 4x} $$ $$ = \lim _{x \to 0} -2 $$ $$ = -2 $$ 

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah -2.