Diketahui f(x)=1 / 2 x^4+a x^3+b x^2+3 x+1 cekung ke bawah

9

Pembahasan

Untuk menentukan nilai a+b, kita perlu menganalisis informasi mengenai kecekungan fungsi f(x) = 1/2x^4 + ax^3 + bx^2 + 3x + 1 pada interval -2 < x < -1.

Kecekungan fungsi ditentukan oleh turunan keduanya. Jika fungsi cekung ke bawah pada suatu interval, maka turunan keduanya bernilai negatif pada interval tersebut.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Cari turunan pertama dari f(x):
f'(x) = d/dx (1/2x^4 + ax^3 + bx^2 + 3x + 1)
f'(x) = 2x^3 + 3ax^2 + 2bx + 3

2. Cari turunan kedua dari f(x):
f''(x) = d/dx (2x^3 + 3ax^2 + 2bx + 3)
f''(x) = 6x^2 + 6ax + 2b

3. Fungsi cekung ke bawah pada interval -2 < x < -1, sehingga f''(x) < 0 pada interval tersebut.
Ini berarti 6x^2 + 6ax + 2b < 0 untuk -2 < x < -1.

4. Karena informasi yang diberikan hanya mengenai kecekungan pada satu interval, dan kita perlu mencari nilai a+b, kita perlu menggunakan informasi tambahan atau sifat dari fungsi kuadrat f''(x). Seringkali dalam soal semacam ini, interval kecekungan berkaitan dengan akar-akar dari turunan kedua.

Mari kita asumsikan bahwa titik-titik ujung interval (-2 dan -1) adalah titik di mana kecekungan berubah, atau dengan kata lain, titik infleksi. Jika -2 dan -1 adalah akar dari f''(x) = 0, maka:

f''(-2) = 6(-2)^2 + 6a(-2) + 2b = 0
24 - 12a + 2b = 0
12 - 6a + b = 0 (Persamaan 1)

f''(-1) = 6(-1)^2 + 6a(-1) + 2b = 0
6 - 6a + 2b = 0
3 - 3a + b = 0 (Persamaan 2)

5. Selesaikan sistem persamaan linear untuk a dan b:
Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
(12 - 6a + b) - (3 - 3a + b) = 0 - 0
12 - 6a + b - 3 + 3a - b = 0
9 - 3a = 0
3a = 9
a = 3

Substitusikan nilai a = 3 ke Persamaan 2:
3 - 3(3) + b = 0
3 - 9 + b = 0
-6 + b = 0
b = 6

6. Hitung a + b:
a + b = 3 + 6 = 9

Verifikasi kecekungan:
Dengan a=3 dan b=6, maka f''(x) = 6x^2 + 18x + 12 = 6(x^2 + 3x + 2) = 6(x+1)(x+2).
Untuk interval -2 < x < -1:
Ambil x = -1.5 (di antara -2 dan -1).
f''(-1.5) = 6(-1.5+1)(-1.5+2) = 6(-0.5)(0.5) = -1.5
Karena f''(-1.5) < 0, maka fungsi memang cekung ke bawah pada interval tersebut.

Jadi, nilai a+b = 9.