Tentukan hasil dari limit fungsi trigonometri berikut ini.

10

Pembahasan

Untuk menentukan hasil dari limit fungsi trigonometri lim (x→0) (cos 4x - cos 6x) / x^2, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah menggunakan aturan L'Hopital atau identitas trigonometri.

Metode 1: Menggunakan Aturan L'Hopital
Karena jika kita substitusikan x=0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 (cos(0)-cos(0))/0^2 = (1-1)/0 = 0/0, kita bisa menerapkan aturan L'Hopital.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim (f(x)/g(x)) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim (f'(x)/g'(x)).

Turunan dari pembilang (cos 4x - cos 6x) adalah:
d/dx(cos 4x - cos 6x) = -4sin 4x - (-6sin 6x) = -4sin 4x + 6sin 6x

Turunan dari penyebut (x^2) adalah:
d/dx(x^2) = 2x

Maka, limitnya menjadi:
lim (x→0) (-4sin 4x + 6sin 6x) / 2x

Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan 0/0, jadi kita terapkan L'Hopital lagi.

Turunan dari pembilang (-4sin 4x + 6sin 6x) adalah:
d/dx(-4sin 4x + 6sin 6x) = -4(4cos 4x) + 6(6cos 6x) = -16cos 4x + 36cos 6x

Turunan dari penyebut (2x) adalah:
d/dx(2x) = 2

Maka, limitnya menjadi:
lim (x→0) (-16cos 4x + 36cos 6x) / 2

Sekarang substitusikan x=0:
(-16cos(0) + 36cos(0)) / 2 = (-16(1) + 36(1)) / 2 = (-16 + 36) / 2 = 20 / 2 = 10

Metode 2: Menggunakan Identitas Trigonometri (Rumus Jumlah ke Selisih)
Kita bisa menggunakan rumus selisih kosinus: cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2).
Dalam kasus ini, A = 4x dan B = 6x.
cos 4x - cos 6x = -2 sin((4x+6x)/2) sin((4x-6x)/2)
= -2 sin(10x/2) sin(-2x/2)
= -2 sin(5x) sin(-x)
Karena sin(-x) = -sin(x), maka:
= -2 sin(5x) (-sin(x))
= 2 sin(5x) sin(x)

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
lim (x→0) (2 sin(5x) sin(x)) / x^2
= lim (x→0) 2 * (sin 5x / x) * (sin x / x)

Kita tahu bahwa lim (x→0) sin(ax)/x = a.
Maka:
= 2 * (5) * (1)
= 10

Kedua metode menghasilkan jawaban yang sama.
Jadi, hasil dari limit fungsi trigonometri tersebut adalah 10.