tentukan hasil dari setiap integral tak tentu

$\arcsin(\frac{x-3}{5}) + C$

Pembahasan

Untuk menentukan hasil dari integral tak tentu $\int \frac{1}{\sqrt{16+6x-x^2}} dx$, kita perlu menyelesaikan integral tersebut.

Pertama, kita lengkapi kuadrat pada ekspresi di dalam akar:
$16 + 6x - x^2 = -(x^2 - 6x - 16) = -((x-3)^2 - 9 - 16) = -((x-3)^2 - 25) = 25 - (x-3)^2$.

Jadi, integralnya menjadi:
$\int \frac{1}{\sqrt{25 - (x-3)^2}} dx$

Ini adalah bentuk integral standar $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \arcsin(\frac{u}{a}) + C$.

Dalam kasus ini, $a^2 = 25$ sehingga $a=5$, dan $u = x-3$, sehingga $du = dx$.

Maka, hasil integralnya adalah:
$\arcsin(\frac{x-3}{5}) + C$.