Tentukan hasil dari soal limit berikut limit x->0 (x tan

1/12

Pembahasan

Untuk menentukan hasil dari limit x→0 (x tan 3x)/(sin^2 6x), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau mengubah bentuk fungsi.

Menggunakan aturan L'Hopital:
Limit ini berbentuk 0/0 saat x→0.
Turunan dari pembilang (x tan 3x) adalah tan 3x + x(3 sec^2 3x).
Turunan dari penyebut (sin^2 6x) adalah 2 sin 6x (6 cos 6x) = 12 sin 6x cos 6x = 6 sin 12x.
Maka, limitnya menjadi:
lim x→0 (tan 3x + 3x sec^2 3x) / (6 sin 12x)
Ini masih berbentuk 0/0, jadi kita gunakan L'Hopital lagi.
Turunan dari pembilang: 3 sec^2 3x + 3 sec^2 3x + 3x (2 sec 3x)(3 sec 3x tan 3x)(3) = 6 sec^2 3x + 54x sec^2 3x tan 3x.
Turunan dari penyebut: 6 (12 cos 12x) = 72 cos 12x.
Maka, limitnya menjadi:
lim x→0 (6 sec^2 3x + 54x sec^2 3x tan 3x) / (72 cos 12x)
Ganti x dengan 0:
(6 sec^2 0 + 0) / (72 cos 0) = (6 * 1^2) / (72 * 1) = 6 / 72 = 1/12.

Mengubah bentuk fungsi:
lim x→0 (x tan 3x)/(sin^2 6x) = lim x→0 [x * (sin 3x / cos 3x)] / (sin 6x * sin 6x)
= lim x→0 [x * sin 3x] / [cos 3x * (2 sin 3x cos 3x) * (2 sin 3x cos 3x)]
Kita tahu bahwa lim x→0 (sin ax)/ax = 1, maka sin ax ≈ ax untuk x dekat 0.
= lim x→0 [x * (3x)] / [1 * (6x) * (6x)]
= lim x→0 [3x^2] / [36x^2]
= 3/36 = 1/12.