Tentukan hasil turunan fungsi implisit berikut ini : x^2y +

a. dy/dx = (6x^2 - 2xy - 3x^2y^2) / (x^2 + 2x^3y + 6y) b. dx/dy = (x^2 + 2x^3y + 6y) / (6x^2 - 2xy - 3x^2y^2)

Pembahasan

Untuk mencari turunan fungsi implisit x^2y + x^3y^2 - 2x^3 + 3y^2 = 0:

a. Turunan dy/dx:
Kita turunkan setiap suku terhadap x, ingat bahwa y adalah fungsi dari x (y = y(x)).
d/dx(x^2y) + d/dx(x^3y^2) - d/dx(2x^3) + d/dx(3y^2) = d/dx(0)
(2xy + x^2 dy/dx) + (3x^2y^2 + x^3 * 2y dy/dx) - 6x^2 + 6y dy/dx = 0
2xy + x^2 dy/dx + 3x^2y^2 + 2x^3y dy/dx - 6x^2 + 6y dy/dx = 0
Kelompokkan suku yang mengandung dy/dx:
dy/dx (x^2 + 2x^3y + 6y) = 6x^2 - 2xy - 3x^2y^2
dy/dx = (6x^2 - 2xy - 3x^2y^2) / (x^2 + 2x^3y + 6y)

b. Turunan dx/dy:
Kita turunkan setiap suku terhadap y, ingat bahwa x adalah fungsi dari y (x = x(y)).
d/dy(x^2y) + d/dy(x^3y^2) - d/dy(2x^3) + d/dy(3y^2) = d/dy(0)
(2xy dy/dx + x^2) + (3x^2 * 2y + x^3 * 2y) - d/dy(2x^3) + 6y = 0
Ini sedikit lebih rumit karena melibatkan turunan dari x terhadap y. Cara yang lebih mudah adalah menggunakan hubungan dx/dy = 1 / (dy/dx).
Namun, jika kita ingin menurunkan langsung:
Kita turunkan terhadap y:
d/dy(x^2y) + d/dy(x^3y^2) - d/dy(2x^3) + d/dy(3y^2) = 0
(2x dy/dy * y + x^2 * 1) + (3x^2 * dx/dy * y^2 + x^3 * 2y) - 2 * 3x^2 * dx/dy = 0 + 6y
(2xy dx/dy + x^2) + (3x^2y^2 dx/dy + 2x^3y) - 6x^2 dx/dy + 6y = 0
Kelompokkan suku yang mengandung dx/dy:
dx/dy (2xy + 3x^2y^2 - 6x^2) = -x^2 - 2x^3y - 6y
dx/dy = (-x^2 - 2x^3y - 6y) / (2xy + 3x^2y^2 - 6x^2)
Atau menggunakan hubungan dx/dy = 1 / (dy/dx):
dx/dy = (x^2 + 2x^3y + 6y) / (6x^2 - 2xy - 3x^2y^2)