Tentukan himpunan penyelesaian: cos^2 2x- sin^2 2x+ 3 sin

Himpunan penyelesaiannya adalah {105°, 165°}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan cos² 2x - sin² 2x + 3 sin 2x + 1 = 0, kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

Kita tahu bahwa cos² θ - sin² θ = cos 2θ. Dalam kasus ini, θ = 2x, jadi cos² 2x - sin² 2x = cos(2 * 2x) = cos 4x.
Namun, jika kita perhatikan lebih lanjut, persamaan tersebut juga dapat disederhanakan dengan menggunakan identitas cos² A = 1 - sin² A.

Mengganti cos² 2x dengan 1 - sin² 2x:
(1 - sin² 2x) - sin² 2x + 3 sin 2x + 1 = 0
1 - 2 sin² 2x + 3 sin 2x + 1 = 0
-2 sin² 2x + 3 sin 2x + 2 = 0

Kalikan dengan -1 untuk memudahkan:
2 sin² 2x - 3 sin 2x - 2 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk sin 2x. Misalkan y = sin 2x:
2y² - 3y - 2 = 0

Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
(2y + 1)(y - 2) = 0

Maka, solusi untuk y adalah:
2y + 1 = 0  =>  y = -1/2
y - 2 = 0   =>  y = 2

Karena y = sin 2x, kita punya:
sin 2x = -1/2  atau  sin 2x = 2

Nilai sin 2x tidak mungkin lebih besar dari 1 atau kurang dari -1. Jadi, sin 2x = 2 tidak memiliki solusi.
Kita hanya perlu menyelesaikan sin 2x = -1/2.

Untuk rentang x = [0, 180°], maka rentang 2x adalah [0°, 360°].
Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.

Sudut referensi untuk sin θ = 1/2 adalah 30°.

Di kuadran III, sudutnya adalah 180° + 30° = 210°.
Jadi, 2x = 210°
x = 105°

Di kuadran IV, sudutnya adalah 360° - 30° = 330°.
Jadi, 2x = 330°
x = 165°

Kedua nilai x ini berada dalam rentang [0, 180°].

Himpunan penyelesaiannya adalah {105°, 165°}.