Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11mathTrigonometri

Tentukan himpunan penyelesaian: cos^2 2x- sin^2 2x+ 3 sin

Pertanyaan

Tentukan himpunan penyelesaian dari cos² 2x - sin² 2x + 3 sin 2x + 1 = 0 untuk x dalam rentang [0°, 180°].

Solusi

Verified

Himpunan penyelesaiannya adalah {105°, 165°}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan cos² 2x - sin² 2x + 3 sin 2x + 1 = 0, kita dapat menggunakan identitas trigonometri. Kita tahu bahwa cos² θ - sin² θ = cos 2θ. Dalam kasus ini, θ = 2x, jadi cos² 2x - sin² 2x = cos(2 * 2x) = cos 4x. Namun, jika kita perhatikan lebih lanjut, persamaan tersebut juga dapat disederhanakan dengan menggunakan identitas cos² A = 1 - sin² A. Mengganti cos² 2x dengan 1 - sin² 2x: (1 - sin² 2x) - sin² 2x + 3 sin 2x + 1 = 0 1 - 2 sin² 2x + 3 sin 2x + 1 = 0 -2 sin² 2x + 3 sin 2x + 2 = 0 Kalikan dengan -1 untuk memudahkan: 2 sin² 2x - 3 sin 2x - 2 = 0 Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk sin 2x. Misalkan y = sin 2x: 2y² - 3y - 2 = 0 Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini: (2y + 1)(y - 2) = 0 Maka, solusi untuk y adalah: 2y + 1 = 0 => y = -1/2 y - 2 = 0 => y = 2 Karena y = sin 2x, kita punya: sin 2x = -1/2 atau sin 2x = 2 Nilai sin 2x tidak mungkin lebih besar dari 1 atau kurang dari -1. Jadi, sin 2x = 2 tidak memiliki solusi. Kita hanya perlu menyelesaikan sin 2x = -1/2. Untuk rentang x = [0, 180°], maka rentang 2x adalah [0°, 360°]. Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV. Sudut referensi untuk sin θ = 1/2 adalah 30°. Di kuadran III, sudutnya adalah 180° + 30° = 210°. Jadi, 2x = 210° x = 105° Di kuadran IV, sudutnya adalah 360° - 30° = 330°. Jadi, 2x = 330° x = 165° Kedua nilai x ini berada dalam rentang [0, 180°]. Himpunan penyelesaiannya adalah {105°, 165°}.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Persamaan Trigonometri
Section: Persamaan Kuadrat Trigonometri

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...