Tentukan himpunan penyelesaian dan himpunan penyelesaian

Himpunan penyelesaian: {20°, 80°, 140°, 200°, 260°, 320°}. Himpunan penyelesaian umum: x = 20° + n*60°.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri 3 cot 3x - √3 = 0 dengan batasan 0° ≤ x ≤ 360°, kita perlu mencari nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.

Langkah 1: Ubah persamaan ke bentuk cot 3x = ...

3 cot 3x - √3 = 0
3 cot 3x = √3
cot 3x = √3 / 3

Langkah 2: Tentukan nilai dasar dari 3x di mana cot 3x = √3 / 3.

Kita tahu bahwa tan 3x = 1 / cot 3x. Jadi, tan 3x = 3 / √3 = √3.

Nilai sudut di mana tangennya adalah √3 adalah 60° (atau π/3 radian).
Jadi, nilai dasar untuk 3x adalah 60°.

cot(θ) positif di kuadran I dan III.
Karena cot 3x = √3/3, ini berarti tan 3x = √3.
Sudut referensi untuk tan = √3 adalah 60°.

Dalam rentang 0° hingga 360°, nilai 3x di mana tan 3x = √3 adalah:
Kuadran I: 3x = 60°
Kuadran III: 3x = 180° + 60° = 240°

Langkah 3: Tentukan nilai x dengan membagi hasil 3x dengan 3.

Dari 3x = 60°:
x = 60° / 3 = 20°

Dari 3x = 240°:
x = 240° / 3 = 80°

Langkah 4: Tentukan solusi umum untuk cot 3x = √3 / 3.

Periode dari fungsi cotangen adalah 180° (atau π radian). Jadi, kita dapat menambahkan kelipatan 180° ke solusi dasar.

Solusi umum untuk 3x adalah:
3x = 60° + n * 180° (di mana n adalah bilangan bulat)

Langkah 5: Cari nilai x dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°.

Kita akan mengganti nilai n = 0, 1, 2, ... dan periksa apakah x berada dalam rentang yang diberikan.

Untuk n = 0:
3x = 60° + 0 * 180° = 60°
x = 60° / 3 = 20°
(Ini berada dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°)

Untuk n = 1:
3x = 60° + 1 * 180° = 240°
x = 240° / 3 = 80°
(Ini berada dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°)

Untuk n = 2:
3x = 60° + 2 * 180° = 60° + 360° = 420°
x = 420° / 3 = 140°
(Ini berada dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°)

Untuk n = 3:
3x = 60° + 3 * 180° = 60° + 540° = 600°
x = 600° / 3 = 200°
(Ini berada dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°)

Untuk n = 4:
3x = 60° + 4 * 180° = 60° + 720° = 780°
x = 780° / 3 = 260°
(Ini berada dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°)

Untuk n = 5:
3x = 60° + 5 * 180° = 60° + 900° = 960°
x = 960° / 3 = 320°
(Ini berada dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°)

Untuk n = 6:
3x = 60° + 6 * 180° = 60° + 1080° = 1140°
x = 1140° / 3 = 380°
(Ini di luar rentang 0° ≤ x ≤ 360°)

Jadi, himpunan penyelesaian untuk persamaan 3 cot 3x - √3 = 0 dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360° adalah {20°, 80°, 140°, 200°, 260°, 320°}.

Himpunan penyelesaian umum dari persamaan cot(θ) = k adalah θ = θ₀ + nπ, di mana θ₀ adalah solusi dasar dan n adalah bilangan bulat. Dalam kasus ini, cot(3x) = √3/3, jadi tan(3x) = √3. Solusi dasar untuk 3x adalah 60° atau π/3.

Jadi, 3x = 60° + n * 180°.
x = 20° + n * 60°.

Mari kita periksa lagi dengan rumus umum ini:
n=0: x = 20°
n=1: x = 20° + 60° = 80°
n=2: x = 20° + 120° = 140°
n=3: x = 20° + 180° = 200°
n=4: x = 20° + 240° = 260°
n=5: x = 20° + 300° = 320°
n=6: x = 20° + 360° = 380° (di luar rentang)

Himpunan penyelesaiannya adalah {20°, 80°, 140°, 200°, 260°, 320°}.