Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan cos(2x)+sin

Himpunan penyelesaiannya adalah 90°, 210°, dan 330°.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan $\cos(2x) + \sin(x) = 0$ untuk $0 \le x \le 360^\circ$.

Gunakan identitas trigonometri $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$. Substitusikan ini ke dalam persamaan:
$1 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 0$

Susun ulang persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam $\sin(x)$: 
$-2\sin^2(x) + \sin(x) + 1 = 0$
Kalikan seluruh persamaan dengan -1 agar koefisien $\sin^2(x)$ positif:
$2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0$

Misalkan $y = \sin(x)$. Persamaan menjadi:
$2y^2 - y - 1 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(2y + 1)(y - 1) = 0$

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk $y$:
1) $2y + 1 = 0 \implies y = -1/2$
2) $y - 1 = 0 \implies y = 1$

Sekarang, substitusikan kembali $y = \sin(x)$:
1) $\sin(x) = -1/2$
   Dalam rentang $0 \le x \le 360^\circ$, nilai sinus negatif berada di kuadran III dan IV.
   Sudut referensi di mana $\sin(x) = 1/2$ adalah $30^\circ$.
   Di kuadran III, $x = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ$.
   Di kuadran IV, $x = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$.

2) $\sin(x) = 1$
   Dalam rentang $0 \le x \le 360^\circ$, nilai sinus adalah 1 ketika $x = 90^\circ$.

Himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos(2x) + \sin(x) = 0$ untuk $0 \le x \le 360^\circ$ adalah $90^\circ$, $210^\circ$, dan $330^\circ$.