Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan cot a sin

Himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 300°}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\cot \alpha \sin 2\alpha - 3 \cos \alpha = -1$ pada interval $0 \le \alpha \le 360^{\circ}$, kita perlu mengubah bentuk persamaan menggunakan identitas trigonometri.

Ingat identitas:
$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan awal:
$(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}) (2 \sin \alpha \cos \alpha) - 3 \cos \alpha = -1$

Sederhanakan persamaan:
$2 \cos^2 \alpha - 3 \cos \alpha = -1$

Ubah menjadi persamaan kuadrat dalam bentuk $\cos \alpha$:
$2 \cos^2 \alpha - 3 \cos \alpha + 1 = 0$

Misalkan $y = \cos \alpha$, maka persamaan menjadi:
$2y^2 - 3y + 1 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(2y - 1)(y - 1) = 0$

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk $y$:
1) $2y - 1 = 0 \implies y = 1/2$
2) $y - 1 = 0 \implies y = 1$

Sekarang kita kembalikan $y$ ke $\cos \alpha$:
1) $\cos \alpha = 1/2$
   Pada interval $0^{\circ} \le \alpha \le 360^{\circ}$, $\cos \alpha = 1/2$ terjadi pada $\alpha = 60^{\circ}$ dan $\alpha = 300^{\circ}$ (karena kosinus positif di kuadran I dan IV).

2) $\cos \alpha = 1$
   Pada interval $0^{\circ} \le \alpha \le 360^{\circ}$, $\cos \alpha = 1$ terjadi pada $\alpha = 0^{\circ}$ dan $\alpha = 360^{\circ}$.

Namun, kita harus memeriksa apakah solusi ini valid dengan melihat kembali persamaan awal, terutama karena ada $\cot \alpha$ dan $\sin \alpha$ di penyebut, yang berarti $\sin \alpha 
e 0$. Jika $\sin \alpha = 0$, maka $\alpha = 0^{\circ}$ atau $\alpha = 180^{\circ}$ atau $\alpha = 360^{\circ}$.

Nilai $\alpha = 0^{\circ}$ dan $\alpha = 360^{\circ}$ menyebabkan $\sin \alpha = 0$, sehingga $\cot \alpha$ tidak terdefinisi. Oleh karena itu, $\alpha = 0^{\circ}$ dan $\alpha = 360^{\circ}$ bukan solusi yang valid.

Solusi yang valid adalah $\alpha = 60^{\circ}$ dan $\alpha = 300^{\circ}$.

Himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 300°}.