Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan

Himpunan penyelesaiannya adalah (-∞, -2) U (-2/5, 6).

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan (x^2 - 4x - 12) / (5x + 2) < 0, kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebut, lalu menentukan interval di mana pertidaksamaan tersebut terpenuhi.

1. Faktorkan pembilang:
x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)
Jadi, akar-akar dari pembilang adalah x = 6 dan x = -2.

2. Cari akar dari penyebut:
5x + 2 = 0
5x = -2
x = -2/5
Jadi, akar dari penyebut adalah x = -2/5.

3. Tentukan titik-titik kritis pada garis bilangan:
Titik-titik kritis adalah -2, -2/5, dan 6.
Ini membagi garis bilangan menjadi empat interval:
(-∞, -2), (-2, -2/5), (-2/5, 6), (6, +∞)

4. Uji tanda di setiap interval:
Kita pilih nilai uji dari setiap interval dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan (x - 6)(x + 2) / (5x + 2) untuk melihat apakah hasilnya negatif.

- Interval (-∞, -2):
Pilih x = -3
(-3 - 6)(-3 + 2) / (5*(-3) + 2) = (-9)(-1) / (-15 + 2) = 9 / -13. Hasilnya negatif (< 0).

- Interval (-2, -2/5):
Pilih x = -1
(-1 - 6)(-1 + 2) / (5*(-1) + 2) = (-7)(1) / (-5 + 2) = -7 / -3. Hasilnya positif (> 0).

- Interval (-2/5, 6):
Pilih x = 0
(0 - 6)(0 + 2) / (5*(0) + 2) = (-6)(2) / (2) = -12 / 2. Hasilnya negatif (< 0).

- Interval (6, +∞):
Pilih x = 7
(7 - 6)(7 + 2) / (5*(7) + 2) = (1)(9) / (35 + 2) = 9 / 37. Hasilnya positif (> 0).

5. Tentukan himpunan penyelesaian:
Pertidaksamaan adalah < 0, jadi kita mencari interval di mana hasilnya negatif.
Interval yang memenuhi adalah (-∞, -2) dan (-2/5, 6).

Karena penyebut tidak boleh nol, maka x = -2/5 tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian. Pembilang bisa nol, jadi x = -2 dan x = 6 bisa saja termasuk jika pertidaksamaan < atau <=. Namun karena pertidaksamaan < 0, maka nilai yang membuat pembilang menjadi 0 (yaitu x=-2 dan x=6) tidak termasuk dalam solusi ini karena hasilnya akan menjadi 0, bukan negatif. Namun, mari kita periksa kembali soalnya. < 0 berarti nilai harus negatif.

Jika x = -2, pembilang menjadi 0, sehingga nilai pecahan adalah 0. 0 tidak < 0, jadi x = -2 tidak termasuk.
Jika x = 6, pembilang menjadi 0, sehingga nilai pecahan adalah 0. 0 tidak < 0, jadi x = 6 tidak termasuk.

Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari interval (-∞, -2) dan (-2/5, 6).