Tentukan himpunan penyelesaian dari sin (x-30)=sin 60

{$90^{\circ}, 150^{\circ}$} (untuk $0^{\circ} \le x < 360^{\circ}$)

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan himpunan penyelesaian dari $\sin(x - 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ}$.

Persamaan $\sin A = \sin B$ memiliki dua kemungkinan solusi umum:
1. $A = B + k 	imes 360^{\circ}$
2. $A = (180^{\circ} - B) + k 	imes 360^{\circ}$

Di mana $k$ adalah bilangan bulat (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).

Dalam kasus ini, $A = x - 30^{\circ}$ dan $B = 60^{\circ}$.

Mari kita selesaikan kedua kemungkinan:

Kemungkinan 1:
$x - 30^{\circ} = 60^{\circ} + k 	imes 360^{\circ}$
$x = 60^{\circ} + 30^{\circ} + k 	imes 360^{\circ}$
$x = 90^{\circ} + k 	imes 360^{\circ}$

Untuk $k=0$, $x = 90^{\circ}$
Untuk $k=1$, $x = 90^{\circ} + 360^{\circ} = 450^{\circ}$ (di luar rentang umum 0-360)
Untuk $k=-1$, $x = 90^{\circ} - 360^{\circ} = -270^{\circ}$ (di luar rentang umum 0-360)

Kemungkinan 2:
$x - 30^{\circ} = (180^{\circ} - 60^{\circ}) + k 	imes 360^{\circ}$
$x - 30^{\circ} = 120^{\circ} + k 	imes 360^{\circ}$
$x = 120^{\circ} + 30^{\circ} + k 	imes 360^{\circ}$
$x = 150^{\circ} + k 	imes 360^{\circ}$

Untuk $k=0$, $x = 150^{\circ}$
Untuk $k=1$, $x = 150^{\circ} + 360^{\circ} = 510^{\circ}$ (di luar rentang umum 0-360)
Untuk $k=-1$, $x = 150^{\circ} - 360^{\circ} = -210^{\circ}$ (di luar rentang umum 0-360)

Jadi, himpunan penyelesaian untuk $x$ (dalam rentang $0^{\circ} \le x < 360^{\circ}$) adalah {$90^{\circ}, 150^{\circ}$}.

Jika tidak ada batasan rentang yang diberikan, maka solusi umumnya adalah $x = 90^{\circ} + k 	imes 360^{\circ}$ atau $x = 150^{\circ} + k 	imes 360^{\circ}$.