Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap pertidaksamaan

a. {x | x <= -2/5 atau x >= 3/4}, b. {x | x <= -3 atau x >= 1/3}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak, kita perlu mempertimbangkan kasus-kasus berdasarkan definisi nilai mutlak.

a. |x+5| <= |1-9x|
Kita bisa mengkuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan nilai mutlak:
(x+5)^2 <= (1-9x)^2
x^2 + 10x + 25 <= 1 - 18x + 81x^2
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
0 <= 81x^2 - x^2 - 18x - 10x + 1 - 25
0 <= 80x^2 - 28x - 24
Bagi dengan 4 untuk menyederhanakan:
0 <= 20x^2 - 7x - 6
Sekarang kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat 20x^2 - 7x - 6 = 0 menggunakan rumus abc:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [7 ± sqrt((-7)^2 - 4 * 20 * -6)] / (2 * 20)
x = [7 ± sqrt(49 + 480)] / 40
x = [7 ± sqrt(529)] / 40
x = [7 ± 23] / 40
x1 = (7 + 23) / 40 = 30 / 40 = 3/4
x2 = (7 - 23) / 40 = -16 / 40 = -2/5
Karena parabola 20x^2 - 7x - 6 terbuka ke atas, pertidaksamaan 20x^2 - 7x - 6 >= 0 terpenuhi ketika x <= -2/5 atau x >= 3/4.
Himpunan penyelesaian: {x | x <= -2/5 atau x >= 3/4}.

b. |2x+1| >= |x-2|
Kuadratkan kedua sisi:
(2x+1)^2 >= (x-2)^2
4x^2 + 4x + 1 >= x^2 - 4x + 4
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
4x^2 - x^2 + 4x + 4x + 1 - 4 >= 0
3x^2 + 8x - 3 >= 0
Cari akar-akar dari 3x^2 + 8x - 3 = 0:
x = [-8 ± sqrt(8^2 - 4 * 3 * -3)] / (2 * 3)
x = [-8 ± sqrt(64 + 36)] / 6
x = [-8 ± sqrt(100)] / 6
x = [-8 ± 10] / 6
x1 = (-8 + 10) / 6 = 2 / 6 = 1/3
x2 = (-8 - 10) / 6 = -18 / 6 = -3
Karena parabola 3x^2 + 8x - 3 terbuka ke atas, pertidaksamaan 3x^2 + 8x - 3 >= 0 terpenuhi ketika x <= -3 atau x >= 1/3.
Himpunan penyelesaian: {x | x <= -3 atau x >= 1/3}.