Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma

Himpunan penyelesaiannya adalah $x \geq 2 + \sqrt[3]{81}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma $3\log(x-2) \geq 4$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk logaritma standar.
Karena basis logaritma tidak disebutkan, kita asumsikan basisnya adalah 10 (logaritma umum) atau $e$ (logaritma natural). Namun, jika kita melihat format soalnya, kemungkinan besar ini adalah logaritma dengan basis 3. Mari kita asumsikan basisnya adalah 3.
$3\log_3(x-2) \geq 4$

2. Pindahkan konstanta ke sisi kanan.
$\log_3(x-2) \geq \frac{4}{3}$

3. Ubah bentuk logaritma ke bentuk eksponensial.
Jika $\log_b a = c$, maka $b^c = a$.
Dalam kasus ini, $b=3$, $c=\frac{4}{3}$, dan $a = x-2$.
Maka, $x-2 \geq 3^{\frac{4}{3}}$

4. Hitung nilai $3^{\frac{4}{3}}$.
$3^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{81}$
Nilai $\sqrt[3]{81}$ kira-kira adalah 4.3267.
Jadi, $x-2 \geq \sqrt[3]{81}$

5. Selesaikan untuk $x$.
$x \geq 2 + \sqrt[3]{81}$
$x \geq 2 + 4.3267$
$x \geq 6.3267$

6. Tentukan domain dari logaritma.
Argumen logaritma harus positif, sehingga $x-2 > 0$, yang berarti $x > 2$.

7. Gabungkan hasil dari langkah 5 dan 6.
Karena $x \geq 2 + \sqrt[3]{81}$ sudah memenuhi syarat $x > 2$, maka himpunan penyelesaiannya adalah $x \geq 2 + \sqrt[3]{81}$.

Himpunan penyelesaiannya adalah $[2 + \sqrt[3]{81}, \infty)$.