Tentukan nilai x pada interval -pi<=x<=pi yang memenuhi

Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x = -\frac{5}{6}\pi$ dan $x = \frac{1}{6}\pi$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\cos(2x - \frac{1}{3}\pi) = 1$ pada interval $-\pi \leq x \leq \pi$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Tentukan nilai umum sudut yang kosinusnya adalah 1.
Fungsi kosinus bernilai 1 ketika sudutnya adalah kelipatan genap dari $\pi$. Jadi, $\cos(\theta) = 1$ jika $\theta = 2k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.

2. Substitusikan argumen kosinus ke dalam bentuk umum.
Dalam kasus ini, argumennya adalah $2x - \frac{1}{3}\pi$. Maka, kita punya:
$2x - \frac{1}{3}\pi = 2k\pi$

3. Selesaikan persamaan untuk $x$.
Tambahkan $\frac{1}{3}\pi$ ke kedua sisi:
$2x = 2k\pi + \frac{1}{3}\pi$
Bagi kedua sisi dengan 2:
$x = k\pi + \frac{1}{6}\pi$

4. Cari nilai $x$ yang berada dalam interval $-\pi \leq x \leq \pi$ dengan mencoba berbagai nilai bilangan bulat untuk $k$.
*   Jika $k = -1$:
    $x = (-1)\pi + \frac{1}{6}\pi = -\pi + \frac{1}{6}\pi = -\frac{5}{6}\pi$
    Nilai ini berada dalam interval $[-\pi, \pi]$.

*   Jika $k = 0$:
    $x = (0)\pi + \frac{1}{6}\pi = \frac{1}{6}\pi$
    Nilai ini berada dalam interval $[-\pi, \pi]$.

*   Jika $k = 1$:
    $x = (1)\pi + \frac{1}{6}\pi = \pi + \frac{1}{6}\pi = \frac{7}{6}\pi$
    Nilai ini berada di luar interval $[-\pi, \pi]$ karena $\frac{7}{6}\pi > \pi$.

*   Jika $k = -2$:
    $x = (-2)\pi + \frac{1}{6}\pi = -2\pi + \frac{1}{6}\pi = -\frac{11}{6}\pi$
    Nilai ini berada di luar interval $[-\pi, \pi]$ karena $-\frac{11}{6}\pi < -\pi$.

Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\cos(2x - \frac{1}{3}\pi) = 1$ pada interval $-\pi \leq x \leq \pi$ adalah $x = -\frac{5}{6}\pi$ dan $x = \frac{1}{6}\pi$.

Himpunan penyelesaiannya adalah $\{ -\frac{5}{6}\pi, \frac{1}{6}\pi \}$.