Tentukan himpunan penyelesiaan dari persamaan logaritma

Himpunan penyelesaiannya adalah {(1 + sqrt(17))/4}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma 2logx + 2log(2x-1) = 1, kita dapat menggunakan sifat-sifat logaritma.

Sifat logaritma yang relevan adalah:
1. n log a + n log b = n log (a*b)
2. n log a = m  <=>  a = n^m

Penerapan sifat pada soal:
2logx + 2log(2x-1) = 1
2log(x * (2x-1)) = 1
2log(2x^2 - x) = 1

Mengubah ke bentuk eksponen:
2x^2 - x = 2^1
2x^2 - x = 2
2x^2 - x - 2 = 0

Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai x:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Dalam kasus ini, a=2, b=-1, c=-2.

x = [1 ± sqrt((-1)^2 - 4 * 2 * (-2))] / (2 * 2)
x = [1 ± sqrt(1 + 16)] / 4
x = [1 ± sqrt(17)] / 4

Jadi, nilai x adalah (1 + sqrt(17))/4 dan (1 - sqrt(17))/4.

Namun, kita harus memeriksa apakah nilai x memenuhi domain logaritma, yaitu argumen logaritma harus positif (x > 0 dan 2x-1 > 0).

Untuk x = (1 + sqrt(17))/4:
sqrt(17) kira-kira 4.12.
x ≈ (1 + 4.12) / 4 ≈ 5.12 / 4 ≈ 1.28. Nilai ini positif.
2x - 1 ≈ 2(1.28) - 1 ≈ 2.56 - 1 ≈ 1.56. Nilai ini juga positif.

Untuk x = (1 - sqrt(17))/4:
x ≈ (1 - 4.12) / 4 ≈ -3.12 / 4 ≈ -0.78. Nilai ini negatif, sehingga tidak memenuhi syarat domain logaritma.

Oleh karena itu, satu-satunya solusi yang valid adalah x = (1 + sqrt(17))/4.

Himpunan penyelesaiannya adalah {(1 + sqrt(17))/4}.