Amin, Beni, dan Doni berbelanja di sebuah toko swalayan,

Harga per unit barang A Rp9.000, barang B Rp12.000, dan barang C Rp8.000. Ester harus membayar Rp145.000.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu membentuk sistem persamaan linear dari informasi yang diberikan mengenai pembelian Amin, Beni, dan Doni.

Misalkan:
Harga per unit barang A = a
Harga per unit barang B = b
Harga per unit barang C = c

Dari informasi yang diberikan, kita dapat menyusun persamaan berikut:

1. Pembelian Amin:
   3a + 4b + 1c = 83.000  ...(Persamaan 1)

2. Pembelian Beni:
   6a + 2b + 1c = 86.000  ...(Persamaan 2)

3. Pembelian Doni:
   2a + 5b + 10c = 158.000 ...(Persamaan 3)

a) Menentukan harga per unit untuk barang A, barang B, dan barang C:
Kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel ini.

Langkah 1: Eliminasi 'c' dari Persamaan 1 dan Persamaan 2.
Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
   (6a + 2b + c) - (3a + 4b + c) = 86.000 - 83.000
   3a - 2b = 3.000 ...(Persamaan 4)

Langkah 2: Eliminasi 'c' dari Persamaan 1 dan Persamaan 3.
Untuk mengeliminasi 'c', kita perlu mengalikan Persamaan 1 dengan 10:
   10 * (3a + 4b + c) = 10 * 83.000
   30a + 40b + 10c = 830.000 ...(Persamaan 5)

Sekarang, kurangkan Persamaan 3 dari Persamaan 5:
   (30a + 40b + 10c) - (2a + 5b + 10c) = 830.000 - 158.000
   28a + 35b = 672.000
   Bagi kedua sisi dengan 7 untuk menyederhanakan:
   4a + 5b = 96.000 ...(Persamaan 6)

Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel (Persamaan 4 dan Persamaan 6).
Kita punya:
   3a - 2b = 3.000   ...(Persamaan 4)
   4a + 5b = 96.000  ...(Persamaan 6)

Kalikan Persamaan 4 dengan 5 dan Persamaan 6 dengan 2 untuk mengeliminasi 'b':
   5 * (3a - 2b) = 5 * 3.000   =>  15a - 10b = 15.000
   2 * (4a + 5b) = 2 * 96.000  =>  8a + 10b = 192.000

Jumlahkan kedua persamaan yang baru:
   (15a - 10b) + (8a + 10b) = 15.000 + 192.000
   23a = 207.000
   a = 207.000 / 23
   a = 9.000

Jadi, harga per unit barang A adalah Rp9.000.

Substitusikan nilai 'a' ke Persamaan 4 untuk mencari 'b':
   3a - 2b = 3.000
   3(9.000) - 2b = 3.000
   27.000 - 2b = 3.000
   -2b = 3.000 - 27.000
   -2b = -24.000
   b = -24.000 / -2
   b = 12.000

Jadi, harga per unit barang B adalah Rp12.000.

Substitusikan nilai 'a' dan 'b' ke Persamaan 1 untuk mencari 'c':
   3a + 4b + c = 83.000
   3(9.000) + 4(12.000) + c = 83.000
   27.000 + 48.000 + c = 83.000
   75.000 + c = 83.000
   c = 83.000 - 75.000
   c = 8.000

Jadi, harga per unit barang C adalah Rp8.000.

Harga per unit:
Barang A: Rp9.000
Barang B: Rp12.000
Barang C: Rp8.000

b) Menghitung jumlah uang yang harus dibayar Ester:
Ester membeli 5 unit barang A, 5 unit barang B, dan 5 unit barang C.

Total biaya Ester = 5a + 5b + 5c
Total biaya Ester = 5(9.000) + 5(12.000) + 5(8.000)
Total biaya Ester = 45.000 + 60.000 + 40.000
Total biaya Ester = 145.000

Jadi, jumlah uang yang harus dibayar Ester adalah Rp145.000.