Tentukan himpunan x dari persamaan logaritma berikut: {

Himpunan x = {2}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma { )^(x) log (x^(2))={ )^(x) log (x+2), kita perlu memahami sifat-sifat logaritma dan syarat numerus.

Persamaan yang diberikan adalah:
log_x(x^2) = log_x(x+2)

**Syarat Numerus:**
Agar logaritma terdefinisi, numerus (argumen logaritma) harus positif.
1. x^2 > 0  => x ≠ 0
2. x + 2 > 0 => x > -2

Selain itu, basis logaritma (x) juga harus positif dan tidak sama dengan 1.
3. x > 0
4. x ≠ 1

Menggabungkan semua syarat, domain yang memenuhi adalah x > 0 dan x ≠ 1.

**Menyelesaikan Persamaan:**
Karena basis logaritma (x) sama pada kedua sisi, kita dapat menyamakan numerusnya:
 x^2 = x + 2

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
x^2 - x - 2 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
(x - 2)(x + 1) = 0

Ini memberikan dua solusi potensial:
x - 2 = 0  => x = 2
x + 1 = 0  => x = -1

**Memeriksa Solusi terhadap Syarat Domain:**
Kita perlu memeriksa apakah solusi-solusi ini memenuhi syarat domain (x > 0 dan x ≠ 1).

1. Untuk x = 2:
   - Memenuhi x > 0.
   - Memenuhi x ≠ 1.
   - Numerus: 2^2 = 4 > 0, dan 2 + 2 = 4 > 0. Basis: 2 > 0, 2 ≠ 1. Jadi, x = 2 adalah solusi yang valid.

2. Untuk x = -1:
   - Tidak memenuhi x > 0.
   - Numerus: (-1)^2 = 1 > 0, tetapi -1 + 2 = 1 > 0. Namun, basis logaritma (-1) tidak memenuhi syarat basis > 0.
   Jadi, x = -1 bukan solusi yang valid.

**Kesimpulan:**
Himpunan solusi untuk persamaan logaritma tersebut adalah {2}.

**Ringkasan Jawaban:**
Himpunan x dari persamaan logaritma log_x(x^2) = log_x(x+2) adalah {2}.