Tentukan integral-integral berikut. integral (8x^4)dx/(x +

8 * [ (2/7)(x+1)^(7/2) - (8/5)(x+1)^(5/2) + 4(x+1)^(3/2) - 8(x+1)^(1/2) - 2(x+1)^(-1/2) ] + C

Pembahasan

Untuk menentukan integral dari (8x⁴)dx / (x + 1)^(3/2), kita dapat menggunakan metode substitusi.

Misalkan u = x + 1. Maka du = dx.
Ini berarti x = u - 1.

Substitusikan ini ke dalam integral:
∫ (8(u-1)⁴) / u^(3/2) du

Expand (u-1)⁴:
(u-1)⁴ = u⁴ - 4u³ + 6u² - 4u + 1

Jadi integralnya menjadi:
∫ 8 * (u⁴ - 4u³ + 6u² - 4u + 1) / u^(3/2) du

Bagi setiap suku dengan u^(3/2):
∫ 8 * (u^(4 - 3/2) - 4u^(3 - 3/2) + 6u^(2 - 3/2) - 4u^(1 - 3/2) + u^(-3/2)) du
∫ 8 * (u^(5/2) - 4u^(3/2) + 6u^(1/2) - 4u^(-1/2) + u^(-3/2)) du

Sekarang, integralkan setiap suku menggunakan aturan ∫ uⁿ du = uⁿ⁺¹ / (n+1):

8 * [ (u^(7/2) / (7/2)) - 4(u^(5/2) / (5/2)) + 6(u^(3/2) / (3/2)) - 4(u^(1/2) / (1/2)) + (u^(-1/2) / (-1/2)) ] + C

8 * [ (2/7)u^(7/2) - (8/5)u^(5/2) + (12/3)u^(3/2) - (8/1)u^(1/2) - (2/1)u^(-1/2) ] + C

8 * [ (2/7)u^(7/2) - (8/5)u^(5/2) + 4u^(3/2) - 8u^(1/2) - 2u^(-1/2) ] + C

Kembalikan substitusi u = x + 1:

8 * [ (2/7)(x+1)^(7/2) - (8/5)(x+1)^(5/2) + 4(x+1)^(3/2) - 8(x+1)^(1/2) - 2(x+1)^(-1/2) ] + C