Tentukan interval di mana fungsi f naik dan turun dalam

Naik pada (pi/2, pi) U (3pi/2, 2pi), turun pada (0, pi/2) U (pi, 3pi/2).

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi f(x) = 2cos^2(x) naik dan turun pada interval 0 <= x <= 2pi, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan kapan turunan tersebut positif (naik) dan negatif (turun).

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
Gunakan aturan rantai: f'(x) = 2 * (2cos(x)) * (-sin(x))
f'(x) = -4cos(x)sin(x)
Gunakan identitas trigonometri 2sin(x)cos(x) = sin(2x):
f'(x) = -2 * (2sin(x)cos(x))
f'(x) = -2sin(2x)

Langkah 2: Tentukan kapan f'(x) > 0 (naik) dan f'(x) < 0 (turun).

Fungsi naik ketika f'(x) > 0:
-2sin(2x) > 0
sin(2x) < 0
Dalam interval 0 <= x <= 2pi, maka 0 <= 2x <= 4pi. Sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.
Untuk 0 <= 2x <= 4pi:
Sin(2x) < 0 terjadi pada:
pi < 2x < 2pi  =>  pi/2 < x < pi
3pi < 2x < 4pi  =>  3pi/2 < x < 2pi
Jadi, fungsi f(x) naik pada interval (pi/2, pi) dan (3pi/2, 2pi).

Fungsi turun ketika f'(x) < 0:
-2sin(2x) < 0
sin(2x) > 0
Sinus bernilai positif di kuadran I dan II.
Untuk 0 <= 2x <= 4pi:
Sin(2x) > 0 terjadi pada:
0 < 2x < pi  =>  0 < x < pi/2
2pi < 2x < 3pi  =>  pi < x < 3pi/2
Jadi, fungsi f(x) turun pada interval (0, pi/2) dan (pi, 3pi/2).

Kesimpulan:
Fungsi f(x) = 2cos^2(x) naik pada interval (pi/2, pi) dan (3pi/2, 2pi).
Fungsi f(x) = 2cos^2(x) turun pada interval (0, pi/2) dan (pi, 3pi/2).