Tentukan interval di mana fungsi f(x)=1/3 x^3-3/2 x^2-4x

Fungsi naik pada interval (-∞, -1) dan (4, ∞).

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi f(x) = 1/3 x^3 - 3/2 x^2 - 4x naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan di mana turunan pertamanya positif.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
f'(x) = d/dx (1/3 x^3 - 3/2 x^2 - 4x)
f'(x) = 1/3 * 3x^2 - 3/2 * 2x - 4
f'(x) = x^2 - 3x - 4

Langkah 2: Tentukan nilai x ketika f'(x) > 0.
Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan x^2 - 3x - 4 > 0.
Faktorkan persamaan kuadrat: (x - 4)(x + 1) > 0.

Langkah 3: Cari akar-akar persamaan kuadrat x^2 - 3x - 4 = 0.
Akar-akarnya adalah x = 4 dan x = -1.

Langkah 4: Analisis tanda f'(x) pada interval yang dibentuk oleh akar-akar tersebut.
Intervalnya adalah (-∞, -1), (-1, 4), dan (4, ∞).

- Untuk x < -1 (misalnya x = -2): f'(-2) = (-2 - 4)(-2 + 1) = (-6)(-1) = 6 > 0. Jadi, fungsi naik.
- Untuk -1 < x < 4 (misalnya x = 0): f'(0) = (0 - 4)(0 + 1) = (-4)(1) = -4 < 0. Jadi, fungsi turun.
- Untuk x > 4 (misalnya x = 5): f'(5) = (5 - 4)(5 + 1) = (1)(6) = 6 > 0. Jadi, fungsi naik.

Jadi, fungsi f(x) naik pada interval (-∞, -1) dan (4, ∞).