Himpunan penyelesaian persamaan 2log^2(x-1)-3x2log(x-1)+2=0

Berdasarkan analisis, persamaan yang diberikan tidak memiliki solusi real. Kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan 2log^2(x-1) - 3 * 2log(x-1) + 2 = 0, kita dapat menggunakan substitusi untuk menyederhanakan persamaan.

Misalkan y = 2log(x-1).
Maka persamaan menjadi:
2y^2 - 3y + 2 = 0

Selanjutnya, kita faktorkan persamaan kuadrat dalam y:
(2y - ?)(y - ?) = 0
Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 2*2=4 dan jika dijumlahkan menghasilkan -3. Tidak ada pasangan bilangan bulat yang memenuhi kriteria ini, yang menyiratkan bahwa persamaan kuadrat ini mungkin tidak memiliki solusi real untuk y, atau ada kesalahan dalam soal.

Mari kita cek diskriminan (D) dari persamaan kuadrat 2y^2 - 3y + 2 = 0, di mana a=2, b=-3, c=2.
D = b^2 - 4ac
D = (-3)^2 - 4(2)(2)
D = 9 - 16
D = -7

Karena diskriminan (D) negatif (-7 < 0), persamaan kuadrat 2y^2 - 3y + 2 = 0 tidak memiliki solusi real untuk y. Ini berarti tidak ada nilai y yang memenuhi persamaan tersebut, dan oleh karena itu, tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan logaritma awal.

Namun, jika kita mengasumsikan ada kesalahan ketik dalam soal dan seharusnya persamaan tersebut dapat difaktorkan, mari kita coba beberapa kemungkinan jika soalnya sedikit berbeda. Misalnya, jika soalnya adalah:
2log^2(x-1) - 5 * 2log(x-1) + 2 = 0
Maka misalkan y = 2log(x-1).
2y^2 - 5y + 2 = 0
(2y - 1)(y - 2) = 0
Ini memberikan y = 1/2 atau y = 2.

Kasus 1: y = 1/2
2log(x-1) = 1/2
log(x-1) = 1/4
x - 1 = 10^(1/4)
x = 1 + 10^(1/4)

Kasus 2: y = 2
2log(x-1) = 2
log(x-1) = 1
x - 1 = 10^1
x = 11

Namun, berdasarkan soal asli yang diberikan (2log^2(x-1) - 3 * 2log(x-1) + 2 = 0), karena tidak ada solusi real untuk y, maka tidak ada himpunan penyelesaian untuk x.

Jika kita mengasumsikan bahwa basis logaritma adalah 2 (seperti tertulis '2log'), dan persamaan adalah:
2 * (log_2(x-1))^2 - 3 * log_2(x-1) + 2 = 0
Misalkan z = log_2(x-1)
2z^2 - 3z + 2 = 0
Diskriminan D = (-3)^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7.
Karena D < 0, tidak ada solusi real untuk z, sehingga tidak ada solusi real untuk x.

Jika kita mengasumsikan bahwa '2log' berarti logaritma dengan basis 10 dan ada kesalahan penulisan, dan seharusnya seperti ini:
(log(x-1))^2 - 3*log(x-1) + 2 = 0
Misalkan p = log(x-1)
p^2 - 3p + 2 = 0
(p-1)(p-2) = 0
p=1 atau p=2

Jika p=1, log(x-1) = 1 => x-1 = 10^1 => x=11
Jika p=2, log(x-1) = 2 => x-1 = 10^2 => x=101

Dengan soal asli yang diberikan, tidak ada himpunan penyelesaian yang valid dari pilihan yang ada karena persamaan kuadrat dalam variabel substitusi tidak memiliki akar real. Kemungkinan besar ada kesalahan ketik dalam soal atau pilihan jawaban.