Tentukan interval di mana kurva fungsi f(x)=sin(2x-4) naik

Fungsi naik pada [0, 1.215) U (4.355, 2π] dan turun pada (1.215, 4.355).

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana kurva fungsi f(x) = sin(2x - 4) naik dan turun pada interval 0 ≤ x ≤ 2π, kita perlu menganalisis turunan pertama dari fungsi tersebut, yaitu f'(x).

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
Turunan dari sin(u) adalah cos(u) * u
ge.
f'(x) = d/dx [sin(2x - 4)]
f'(x) = cos(2x - 4) * d/dx [2x - 4]
f'(x) = 2 cos(2x - 4)

Langkah 2: Tentukan kapan f'(x) > 0 (fungsi naik).
Fungsi naik ketika f'(x) > 0.
2 cos(2x - 4) > 0
cos(2x - 4) > 0

Kosinus bernilai positif di kuadran I dan IV. Misalkan θ = 2x - 4.
Kita perlu mencari nilai θ sehingga cos(θ) > 0.
Ini terjadi ketika:
-2π < θ < -π/2
0 < θ < π/2
3π/2 < θ < 2π

Karena 0 ≤ x ≤ 2π, maka rentang untuk 2x - 4 adalah:
0 ≤ 2x ≤ 4π
-4 ≤ 2x - 4 ≤ 4π - 4

Sekarang kita substitusikan kembali θ = 2x - 4 ke dalam kondisi cos(θ) > 0:
1. -2π < 2x - 4 < -π/2
   -2π + 4 < 2x < -π/2 + 4
   -6.28 + 4 < 2x < -1.57 + 4
   -2.28 < 2x < 2.43
   -1.14 < x < 1.215

   Karena interval kita adalah 0 ≤ x ≤ 2π (sekitar 6.28), bagian yang relevan adalah 0 ≤ x < 1.215.

2. 0 < 2x - 4 < π/2
   4 < 2x < π/2 + 4
   2 < x < (π/2 + 4)/2
   2 < x < π/4 + 2
   2 < x < 0.785 + 2
   2 < x < 2.785

3. 3π/2 < 2x - 4 < 2π
   3π/2 + 4 < 2x < 2π + 4
   4.71 + 4 < 2x < 6.28 + 4
   8.71 < 2x < 10.28
   4.355 < x < 5.14

Jadi, fungsi naik pada interval [0, 1.215) dan (4.355, 2π]. (Perlu diingat bahwa π ≈ 3.14159, 2π ≈ 6.28318)

Langkah 3: Tentukan kapan f'(x) < 0 (fungsi turun).
Fungsi turun ketika f'(x) < 0.
2 cos(2x - 4) < 0
cos(2x - 4) < 0

Kosinus bernilai negatif di kuadran II dan III. Misalkan θ = 2x - 4.
Kita perlu mencari nilai θ sehingga cos(θ) < 0.
Ini terjadi ketika:
π/2 < θ < 3π/2

Substitusikan kembali θ = 2x - 4:
π/2 < 2x - 4 < 3π/2
π/2 + 4 < 2x < 3π/2 + 4
1.57 + 4 < 2x < 4.71 + 4
5.57 < 2x < 8.71
2.785 < x < 4.355

Jadi, fungsi turun pada interval (1.215, 4.355).

Ringkasan:
Fungsi f(x) = sin(2x - 4) naik pada interval [0, 1.215) dan (4.355, 2π].
Fungsi f(x) = sin(2x - 4) turun pada interval (1.215, 4.355).