Kelas 11mathKalkulus
Tentukan interval di mana kurva fungsi f(x)=sin(2x-4) naik
Pertanyaan
Tentukan interval di mana kurva fungsi f(x)=sin(2x-4) naik dan di mana kurva fungsi tersebut turun pada interval 0<=x<=2pi.
Solusi
Verified
Fungsi naik pada [0, 1.215) U (4.355, 2π] dan turun pada (1.215, 4.355).
Pembahasan
Untuk menentukan interval di mana kurva fungsi f(x) = sin(2x - 4) naik dan turun pada interval 0 ≤ x ≤ 2π, kita perlu menganalisis turunan pertama dari fungsi tersebut, yaitu f'(x). Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x). Turunan dari sin(u) adalah cos(u) * u ge. f'(x) = d/dx [sin(2x - 4)] f'(x) = cos(2x - 4) * d/dx [2x - 4] f'(x) = 2 cos(2x - 4) Langkah 2: Tentukan kapan f'(x) > 0 (fungsi naik). Fungsi naik ketika f'(x) > 0. 2 cos(2x - 4) > 0 cos(2x - 4) > 0 Kosinus bernilai positif di kuadran I dan IV. Misalkan θ = 2x - 4. Kita perlu mencari nilai θ sehingga cos(θ) > 0. Ini terjadi ketika: -2π < θ < -π/2 0 < θ < π/2 3π/2 < θ < 2π Karena 0 ≤ x ≤ 2π, maka rentang untuk 2x - 4 adalah: 0 ≤ 2x ≤ 4π -4 ≤ 2x - 4 ≤ 4π - 4 Sekarang kita substitusikan kembali θ = 2x - 4 ke dalam kondisi cos(θ) > 0: 1. -2π < 2x - 4 < -π/2 -2π + 4 < 2x < -π/2 + 4 -6.28 + 4 < 2x < -1.57 + 4 -2.28 < 2x < 2.43 -1.14 < x < 1.215 Karena interval kita adalah 0 ≤ x ≤ 2π (sekitar 6.28), bagian yang relevan adalah 0 ≤ x < 1.215. 2. 0 < 2x - 4 < π/2 4 < 2x < π/2 + 4 2 < x < (π/2 + 4)/2 2 < x < π/4 + 2 2 < x < 0.785 + 2 2 < x < 2.785 3. 3π/2 < 2x - 4 < 2π 3π/2 + 4 < 2x < 2π + 4 4.71 + 4 < 2x < 6.28 + 4 8.71 < 2x < 10.28 4.355 < x < 5.14 Jadi, fungsi naik pada interval [0, 1.215) dan (4.355, 2π]. (Perlu diingat bahwa π ≈ 3.14159, 2π ≈ 6.28318) Langkah 3: Tentukan kapan f'(x) < 0 (fungsi turun). Fungsi turun ketika f'(x) < 0. 2 cos(2x - 4) < 0 cos(2x - 4) < 0 Kosinus bernilai negatif di kuadran II dan III. Misalkan θ = 2x - 4. Kita perlu mencari nilai θ sehingga cos(θ) < 0. Ini terjadi ketika: π/2 < θ < 3π/2 Substitusikan kembali θ = 2x - 4: π/2 < 2x - 4 < 3π/2 π/2 + 4 < 2x < 3π/2 + 4 1.57 + 4 < 2x < 4.71 + 4 5.57 < 2x < 8.71 2.785 < x < 4.355 Jadi, fungsi turun pada interval (1.215, 4.355). Ringkasan: Fungsi f(x) = sin(2x - 4) naik pada interval [0, 1.215) dan (4.355, 2π]. Fungsi f(x) = sin(2x - 4) turun pada interval (1.215, 4.355).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Turunan Fungsi Trigonometri
Section: Analisis Fungsi
Apakah jawaban ini membantu?