Tentukan interval di mana kurva masing- masing fungsi

Naik pada [0, pi/2), Turun pada (pi/2, pi], Cekung ke bawah pada (0, pi).

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana kurva fungsi h(x) = akar(sin x) dalam keadaan naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah, kita perlu menganalisis turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut pada interval 0 <= x <= pi.

1. Turunan Pertama (untuk menentukan naik/turun):

h(x) = (sin x)^(1/2)
h'(x) = (1/2) * (sin x)^(-1/2) * cos x
h'(x) = cos x / (2 * sqrt(sin x))

Fungsi naik ketika h'(x) > 0. Karena penyebut (2 * sqrt(sin x)) selalu positif untuk 0 < x < pi (karena sin x positif di kuadran I dan II), tanda h'(x) ditentukan oleh cos x.

Dalam interval 0 <= x <= pi:
- cos x > 0 ketika 0 <= x < pi/2 (naik).
- cos x < 0 ketika pi/2 < x <= pi (turun).

Jadi, h(x) naik pada interval [0, pi/2) dan turun pada interval (pi/2, pi].

2. Turunan Kedua (untuk menentukan cekung ke atas/bawah):

Kita perlu menurunkan h'(x) = (1/2) * cos x * (sin x)^(-1/2).
Menggunakan aturan perkalian dan aturan rantai:
h''(x) = (1/2) * [(-sin x) * (sin x)^(-1/2) + cos x * (-1/2) * (sin x)^(-3/2) * cos x]
h''(x) = (1/2) * [-sin x / sqrt(sin x) - cos^2 x / (2 * (sin x)^(3/2))]

Untuk menyederhanakan, kita samakan penyebutnya:
h''(x) = (1/2) * [-2 * sin^2 x / (2 * (sin x)^(3/2)) - cos^2 x / (2 * (sin x)^(3/2))]
h''(x) = (1/2) * [(-2 sin^2 x - cos^2 x) / (2 * (sin x)^(3/2))]
h''(x) = -(2 sin^2 x + cos^2 x) / (4 * (sin x)^(3/2))
h
h''(x) = -(sin^2 x + sin^2 x + cos^2 x) / (4 * (sin x)^(3/2))
h
h''(x) = -(sin^2 x + 1) / (4 * (sin x)^(3/2))

Dalam interval 0 <= x <= pi, sin x >= 0. Untuk 0 < x < pi, sin x > 0, sehingga (sin x)^(3/2) positif.
Juga, sin^2 x + 1 selalu positif.
Oleh karena itu, h''(x) selalu negatif dalam interval (0, pi).

Fungsi cekung ke bawah ketika h''(x) < 0. Jadi, h(x) cekung ke bawah pada seluruh interval (0, pi).

Kesimpulan:
- Fungsi naik pada interval [0, pi/2).
- Fungsi turun pada interval (pi/2, pi].
- Fungsi cekung ke bawah pada interval (0, pi).
- Tidak ada interval di mana fungsi cekung ke atas.