Tentukan interval dimana fungsi naik atau turun untuk

Fungsi naik pada (-∞, 12/7) U (4, ∞) dan turun pada (12/7, 4).

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi f(x) = x^3(x-4)^4 naik atau turun, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut (f'(x)) dan menentukan kapan f'(x) > 0 (naik) dan kapan f'(x) < 0 (turun).

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x) menggunakan aturan perkalian.
Misalkan u = x^3 dan v = (x-4)^4.
Maka u' = 3x^2 dan v' = 4(x-4)^3 * 1 = 4(x-4)^3.

f'(x) = u'v + uv'
f'(x) = 3x^2 (x-4)^4 + x^3 * 4(x-4)^3

Langkah 2: Faktorkan f'(x).
Kita bisa memfaktorkan 3x^2(x-4)^3 keluar dari kedua suku:
f'(x) = 3x^2(x-4)^3 [ (x-4) + (4/3)x ]
f'(x) = 3x^2(x-4)^3 [ x - 4 + (4/3)x ]
f'(x) = 3x^2(x-4)^3 [ (7/3)x - 4 ]

Langkah 3: Cari titik kritis dengan mengatur f'(x) = 0.
Titik kritis terjadi ketika faktor-faktornya nol:
3x^2 = 0  => x = 0
(x-4)^3 = 0 => x = 4
(7/3)x - 4 = 0 => (7/3)x = 4 => x = 12/7

Titik-titik kritisnya adalah x = 0, x = 12/7, dan x = 4.

Langkah 4: Uji interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis.
Intervalnya adalah (-∞, 0), (0, 12/7), (12/7, 4), dan (4, ∞).

Uji nilai x di setiap interval:
- Interval (-∞, 0): Pilih x = -1.
f'(-1) = 3(-1)^2(-1-4)^3((-1-4) + (4/3)(-1)) = 3(1)(-5)^3(-5 - 4/3) = 3(-125)(-19/3) = 125 * 19 > 0. Fungsi naik.
- Interval (0, 12/7): Pilih x = 1.
f'(1) = 3(1)^2(1-4)^3(1-4 + 4/3) = 3(1)(-3)^3(-3 + 4/3) = 3(-27)(-5/3) = 27 * 5 > 0. Fungsi naik.
- Interval (12/7, 4): Pilih x = 3.
f'(3) = 3(3)^2(3-4)^3(3-4 + 4/3) = 3(9)(-1)^3(-1 + 4/3) = 27(-1)(1/3) = -9 < 0. Fungsi turun.
- Interval (4, ∞): Pilih x = 5.
f'(5) = 3(5)^2(5-4)^3(5-4 + 4/3) = 3(25)(1)^3(1 + 4/3) = 75(7/3) > 0. Fungsi naik.

Kesimpulan:
Fungsi f(x) naik pada interval (-∞, 12/7) dan (4, ∞).
Fungsi f(x) turun pada interval (12/7, 4).