Tentukan interval dimana kurva cekung ke bawah dan cekung

Cekung ke bawah: (0, π/2) & (π, 3π/2). Cekung ke atas: (π/2, π) & (3π/2, 2π). Titik belok: (π/2, 0), (π, 0), (3π/2, 0).

Pembahasan

Untuk menentukan interval kecekungan dan koordinat titik belok dari fungsi f(x) = 3 sin 2x pada interval 0 < x < 2π, kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut.

Langkah 1: Cari turunan pertama (f'(x)).
f(x) = 3 sin(2x)
f'(x) = d/dx (3 sin(2x))
Menggunakan aturan rantai, turunan dari sin(u) adalah cos(u) * u'.
Di sini, u = 2x, jadi u' = 2.
f'(x) = 3 * cos(2x) * 2
f'(x) = 6 cos(2x)

Langkah 2: Cari turunan kedua (f''(x)).
f''(x) = d/dx (6 cos(2x))
Menggunakan aturan rantai, turunan dari cos(u) adalah -sin(u) * u'.
Di sini, u = 2x, jadi u' = 2.
f''(x) = 6 * (-sin(2x)) * 2
f''(x) = -12 sin(2x)

Langkah 3: Tentukan interval kecekungan.
- Kurva cekung ke atas jika f''(x) > 0.
- Kurva cekung ke bawah jika f''(x) < 0.

Untuk interval cekung ke bawah (f''(x) < 0):
-12 sin(2x) < 0
Karena -12 negatif, kita bagi kedua sisi dengan -12 dan membalik tanda ketidaksamaan:
sin(2x) > 0

Kita perlu mencari nilai 2x di mana sinus positif. Sinus positif di Kuadran I dan Kuadran II.
Misalkan θ = 2x.

Untuk 0 < x < 2π, maka 0 < 2x < 4π.

Dalam interval 0 hingga 4π:
sin(θ) positif ketika:
- 0 < θ < π (Kuadran I)
- 2π < θ < 3π (Kuadran I lagi, setelah satu putaran penuh)

Sekarang substitusikan kembali θ = 2x:
- 0 < 2x < π  => 0 < x < π/2
- 2π < 2x < 3π => π < x < 3π/2

Jadi, fungsi cekung ke bawah pada interval (0, π/2) dan (π, 3π/2).

Untuk interval cekung ke atas (f''(x) > 0):
-12 sin(2x) > 0
Bagi kedua sisi dengan -12 dan balikkan tanda ketidaksamaan:
sin(2x) < 0

Kita perlu mencari nilai 2x di mana sinus negatif. Sinus negatif di Kuadran III dan Kuadran IV.

Dalam interval 0 hingga 4π:
sin(θ) negatif ketika:
- π < θ < 2π (Kuadran III dan IV)
- 3π < θ < 4π (Kuadran III dan IV lagi, setelah satu putaran penuh)

Sekarang substitusikan kembali θ = 2x:
- π < 2x < 2π  => π/2 < x < π
- 3π < 2x < 4π => 3π/2 < x < 2π

Jadi, fungsi cekung ke atas pada interval (π/2, π) dan (3π/2, 2π).

Langkah 4: Tentukan koordinat titik belok.
Titik belok terjadi ketika f''(x) = 0 atau f''(x) tidak terdefinisi, dan tanda kecekungan berubah di sekitar titik tersebut.
Kita sudah tahu f''(x) = -12 sin(2x).
Setel f''(x) = 0:
-12 sin(2x) = 0
sin(2x) = 0

Nilai 2x di mana sinus adalah 0 adalah kelipatan bulat dari π:
2x = kπ, di mana k adalah bilangan bulat.

Dalam interval 0 < x < 2π, maka 0 < 2x < 4π.
Jadi, nilai 2x yang memenuhi adalah:
2x = 0, π, 2π, 3π

Ini memberikan nilai x:
x = 0, π/2, π, 3π/2

Namun, kita perlu mempertimbangkan interval yang diberikan, yaitu 0 < x < 2π. Jadi, nilai x yang relevan adalah π/2, π, dan 3π/2.

Sekarang kita perlu memeriksa perubahan kecekungan di sekitar nilai-nilai x ini:
- Di x = π/2: Kecekungan berubah dari ke bawah (sebelumnya) ke ke atas (sesudahnya).
- Di x = π: Kecekungan berubah dari ke atas (sebelumnya) ke ke bawah (sesudahnya).
- Di x = 3π/2: Kecekungan berubah dari ke bawah (sebelumnya) ke ke atas (sesudahnya).

Oleh karena itu, titik-titik belok terjadi pada x = π/2, x = π, dan x = 3π/2.

Sekarang kita cari nilai y (koordinat f(x)) untuk setiap titik belok:
- Untuk x = π/2:
f(π/2) = 3 sin(2 * π/2) = 3 sin(π) = 3 * 0 = 0. Koordinat titik belok: (π/2, 0).
- Untuk x = π:
f(π) = 3 sin(2 * π) = 3 sin(2π) = 3 * 0 = 0. Koordinat titik belok: (π, 0).
- Untuk x = 3π/2:
f(3π/2) = 3 sin(2 * 3π/2) = 3 sin(3π) = 3 * 0 = 0. Koordinat titik belok: (3π/2, 0).

Ringkasan:
- Interval Cekung ke Bawah: (0, π/2) dan (π, 3π/2)
- Interval Cekung ke Atas: (π/2, π) dan (3π/2, 2π)
- Koordinat Titik Belok: (π/2, 0), (π, 0), dan (3π/2, 0)